Propiedad del operador diferencial lineal

Question

Uno de mis ejercicios plantea lo siguiente.

Sea $D\colon\mathbb R[X]\to\mathbb R[X]$ (donde $\mathbb R[x]$ es el espacio de polinomios con coeficientes reales) sea el operador diferencial $D(f(X))=f'(X)$ . Demuestre que $$e^{tD}(f(X))=f(X+t)$$ para cualquier número real $t$ .

EDIT: Usando la sugerencia de mgn en los comentarios, escribimos $$e^{tD}(f(X)=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^nD^n(f(X))}{n!}=f(X)+tf'(X)+\frac{t^2f''(X)}2 +\frac{t^3 f^{(3)}(X)}{6}+\cdots.$$ Ahora, arreglamos $X$ y hallar la serie de Taylor de la función $f(X+t)$ acerca de $t=0$ : $$f(X+t)=f(X)+tf'(X)+\frac{t^2f''(X)}{2}+\cdots.$$ Pero esto es precisamente $e^{tD}(f(X))$ y hemos terminado.

¿Puede alguien verificar que esta prueba es rigurosa y correcta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, has entendido bien mi comentario y la prueba que has presentado me parece correcta. Para más detalles podrías escribir algo como: let $X$ entonces $g(t):=f(X+t)$ sigue siendo un polinomio, por lo que podemos aplicar la expansión de Taylor alrededor de un punto $t=0$ . Así $$f(X+t)=g(t) = g(0) + \sum_{n \geq 1} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} t^n = \sum_{n \geq 0} \frac{f^{(n)}(X)}{n!} t^n =e^{tD}(f(X)),$$ donde $f^{(0)} =f$ .

¡Buen trabajo!