Responda verdadero o falso: Para los conjuntos A y B, A ∩ B = B ∩ B'

Question

Responda verdadero o falso: Para los conjuntos $A$ y $B:$ $A \cap B = B \cap B'.$

La afirmación es falsa. Sea $A$ y $B$ sean conjuntos no vacíos con $A = B$ y que $X = \{ a , b , c \}.$ Entonces

$A \cap B = \{ a \} \cap \{ a \} = \{ a \}$ y $B \cap B'= \{ a \} \cap \{ b , c\}.$ Puesto que para todo conjunto $A, \emptyset \subseteq A$ Obsérvese que $\{ a \} \cap \{ b , c \} = \emptyset.$

Pero entonces $A \cap B \neq B \cap B'$ porque $\{a\} \neq \emptyset.$

¿Es correcta mi respuesta? Este es un ejercicio extraído de mi cuaderno de ejercicios.

Answer 1

Sí, es correcto. Aunque no debería hacer falta hacer un ejemplo para ver que ya es falso: $B \cap B' = \emptyset$ independientemente de lo que $B$ es, por lo que la única forma en que podría ser cierto es si $A \cap B = \emptyset$ siempre, pero es evidente que no siempre es así.

Aunque es una errata menor, creo que querías decir $A \cap B = \{a\} \cap \{a\}$ al principio. Pero el resultado es el mismo.

Answer 2

Tienes razón, pero hay que redactarlo un poco mejor. Por ejemplo, nunca se escribe lo que $A$ en realidad lo es.

Sea $X=\{a,b,c\}$ y $A=B= \{a\}.$ Entonces $$A\cap B=\{a\}\cap \{a\}=\{a\}$$ y $$B \cap B^c =\emptyset$$ y así $$A\cap B \neq B\cap B^c.$$