Estoy atascado tratando de entender un ejemplo en un libro, se saltaron algunos pasos que no entiendo. Tengo la EDO $$x''+\omega^2 x+\lambda x^3=0,\quad \lambda<<1 $$ como $\lambda$ es pequeño puedo usar perturba $$x(t)=x_0+\lambda x_1\dots$$ entonces puedo igualar los coeficientes en potencias de $\lambda$ .
Entonces el primer orden es $$x_0''+x_0=0$$ con condición inicial $x_0'(0)=0$ y $x_0(0)=a$ I $$x_0=a\cos(\omega t).$$ Entonces puedo equiparar hasta términos en $\lambda$ , obtengo $$x_1''+\omega^2 x_1=-x_0^3,\quad x_1(0)=0, x_1'(0)=0.$$ La solución homogénea es simplemente $x_{h1}=c_1\cos(\omega t+\phi),$ el lado derecho puede reescribirse como $$-\frac{a^3}{4}(\cos(3\omega t)+3\cos(\omega t)).$$ Entonces con el método de los coeficientes indeterminados $$x_{1p}=C\cos 3t+Dt\cos t+Et\sin t$$ y después de introducirlo en el ODE obtengo $$-9\cos 3t-2D\sin t -Dt\cos t+2E\cos t-Et\sin t+\omega^2(C\cos 3t+Dt\cos t+Et\sin t)=-\frac{a^3}{4}(\cos(3\omega t)+3\cos(\omega t))$$ . y equiparo términos $$-9C\cos 3t+C\omega^2\cos 3t=-\frac{a^3}{4}\cos 3t\Rightarrow C=\frac{-a^3}{4(-9+\omega^2)}$$ $$2E\cos t=\frac{-a^3}{4}\cos t\Rightarrow E=-\frac{3a^3}{8}$$ pero luego me sale que $$-Et\sin t+\omega^2Et\sin t =0$$ lo cual es extraño, lo entiendo $D=0$ también. Puedo ver por la conclusión del ejemplo que obtengo la respuesta incorrecta, pero no veo dónde meto la pata.
