Ayuda con la EDO no lineal

Question

Estoy atascado tratando de entender un ejemplo en un libro, se saltaron algunos pasos que no entiendo. Tengo la EDO $$x''+\omega^2 x+\lambda x^3=0,\quad \lambda<<1$$ como $\lambda$ es pequeño puedo usar perturba $$x(t)=x_0+\lambda x_1\dots$$ entonces puedo igualar los coeficientes en potencias de $\lambda$ .

Entonces el primer orden es $$x_0''+x_0=0$$ con condición inicial $x_0'(0)=0$ y $x_0(0)=a$ I $$x_0=a\cos(\omega t).$$ Entonces puedo equiparar hasta términos en $\lambda$ , obtengo $$x_1''+\omega^2 x_1=-x_0^3,\quad x_1(0)=0, x_1'(0)=0.$$ La solución homogénea es simplemente $x_{h1}=c_1\cos(\omega t+\phi),$ el lado derecho puede reescribirse como $$-\frac{a^3}{4}(\cos(3\omega t)+3\cos(\omega t)).$$ Entonces con el método de los coeficientes indeterminados $$x_{1p}=C\cos 3t+Dt\cos t+Et\sin t$$ y después de introducirlo en el ODE obtengo $$-9\cos 3t-2D\sin t -Dt\cos t+2E\cos t-Et\sin t+\omega^2(C\cos 3t+Dt\cos t+Et\sin t)=-\frac{a^3}{4}(\cos(3\omega t)+3\cos(\omega t))$$ . y equiparo términos $$-9C\cos 3t+C\omega^2\cos 3t=-\frac{a^3}{4}\cos 3t\Rightarrow C=\frac{-a^3}{4(-9+\omega^2)}$$ $$2E\cos t=\frac{-a^3}{4}\cos t\Rightarrow E=-\frac{3a^3}{8}$$ pero luego me sale que $$-Et\sin t+\omega^2Et\sin t =0$$ lo cual es extraño, lo entiendo $D=0$ también. Puedo ver por la conclusión del ejemplo que obtengo la respuesta incorrecta, pero no veo dónde meto la pata.

Answer 1

Establecer $ω=1$ para evitar todas las omisiones y poderes erróneos de la misma, entonces, como se encontró en su mayoría correctamente, $$x_{1p}''+x_{1p}=-8C\cos(3t)−2D\sin t+2E\cos t = -\frac{a^3}4(\cos(3t)+3\cos(t))$$ Comparando los coeficientes de términos similares se obtiene $D=0$ , $C=\dfrac{a^3}{32}$ y $E=-\dfrac{3a^3}{8}$ dándote $$x_1(t)=\dfrac{a^3}{32}(\cos(3t)-\cos(t))-\dfrac{3a^3}{8}t\sin t$$

Se puede integrar el término creciente como parte de una expansión de Taylor como $$\begin{align} x_0+λx_1&=a(\cos(t)-\sin(t)λ\dfrac{3a^2}{8}t) + λ\dfrac{a^3}{32}(\cos(3t)-\cos(t)) \\ &= a\bigl(1-λ\dfrac{a^2}{32}\bigr)\cos\left(\bigl(1+λ\dfrac{3a^2}{8}\bigr)t\right)+ λ\dfrac{a^3}{32}\cos(3t)+O(λ^2) \end{align}$$ captando la perturbación de la frecuencia.

Que esto es sensato lo muestra el siguiente diagrama. La línea azul es la solución numérica para $a=2$ , $λ=0.1$ , que debe considerarse como la más exacta, el gráfico verde representa la solución de perturbación de primer orden sin y el gráfico rojo con la modificación de la frecuencia. Como se ve, dejando la $t\sin t$ término libre da un error que aumenta rápidamente.

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Tenga en cuenta que puede deshacerse de $ω$ de forma "legal" considerando $x(t)=y(ωt)$ desde entonces $x''(t)=ω^2y''(ωt)$ y la ecuación transformada es $$y''(s)+y(s)+\frac{λ}{ω^2}y(s)^3=0$$