$n>3$ sea un número entero impar , $k,t$ son los números enteros positivos más pequeños tales que $tn , kn+1$ son cuadrados perfectos . Entonces es $n$ primo si $k,t>n/4$ ?

Question

Sea $n>3$ sea un número entero impar , $k,t$ son los números enteros positivos más pequeños tales que $tn , kn+1$ son cuadrados perfectos . Entonces es $n$ primo si y sólo si $k,t$ son mayores que $n/4$ ?

Answer 1

Primero probamos que para todos los números compuestos podemos encontrar $t$ o $k$ inferior o igual a $\frac{n}{4}$

1. Si el $n$ puede escribirse como $n=p^m \tag{1}$ para algún número entero $m>1$ y un primo $p$ entonces podemos tomar $t=$ si $m$ es par o $t=p\leq \sqrt[m] n\leq \sqrt[3] n\leq \frac{n}{4}$ si $m$ es impar.
2. Si $(1)$ no es cierto, entonces podemos escribir $n=pq$ con $\gcd(p,q)=1$ y $p>1,q>1$ por lo que utilizando la identidad de Bézout existen dos enteros $x$ y $y$ tal que: $$xp-yq=2$$ y la identidad de Bezout nos da además $|x|\leq \frac{q}{2}$ y $|y|\leq \frac{p}{2}$ para que podamos tomar $k=xy$ porque: $$xypq+1=(xp-2)xp+1=(xp-1)^2 $$

En segundo lugar, supongamos que los números enteros $k$ y $t$ existen para un primo $n$ y demostramos que $k,t>\frac{n}{4}$ claramente $t>\frac{n}{4}$ y también tenemos $kn=x^2-1$ para algunos $x$ porque $n$ divide $x-1$ o $x+1$ tenemos $n\leq x+1$ y de esto concluimos que $k\geq x-1\geq n-2 \geq \frac{n}{4}$ (n\geq3 en la pregunta)