Inverso de un conjunto de pares ordenados.

Question

En un examen me hicieron la siguiente pregunta.

Sea $r=\{(x,y) \ | \ x \in [-1,1] \ \text{and} \ y=x^2\}$ ¿es cierta la siguiente afirmación?

$$r^{-1}=\{(x,y) \ | \ x \in [0,1] \ \text{and} \ y=\pm\sqrt{|x|} \}$$

Tengo que responder a la pregunta explicando la razón utilizando alguna definición referible. Al principio, iba a utilizar la definición de función y función inversa porque me di cuenta de que $r$ es una función de $[-1,1]$ a $[0,1]$ pero cuando volví a mirarlo.., $r$ no es uno a uno y $r^{-1}$ no es una función porque asigna $x$ a $-\sqrt{|x|}$ y $\sqrt{|x|}$ .

He estado buscando una definición de inversa de un conjunto de pares ordenados para ver si puede ser útil, pero no la he encontrado.

Me pregunto cuál es el $r^{-1}$ significa en este caso. Si la pregunta dice claramente que $r$ es una función y $r^{-1}$ es la inversa de $r$ ya respondería "No".

Answer 1

El conjunto $r$ es un ejemplo de relación que es simplemente un subconjunto $R \subseteq X \times Y$ del producto cartesiano de dos conjuntos dados $X, Y$ . Para $r$ los conjuntos $X$ y $Y$ no se especifican, pero sin duda podríamos tomar $$X = [-1, 1], \quad Y = [0, 1].$$

Decimos que una relación $R \subseteq X \times Y$ es un función $R: X \to Y$ si para todo $x \in X$ hay exactamente una $y \in Y$ tal que $(x, y) \in R$ . (Obsérvese que nuestra elección de $X$ , $Y$ hace $r$ una función). Si $R$ también satisface la inversa, o más exactamente que para todo $y \in Y$ hay exactamente una $x \in X$ tal que $(x, y) \in R$ entonces, por definición, la relación $R^{-1} \subseteq Y \times X$ definido por $$\phantom{(\ast)} \qquad R^{-1} := \{(y, x) : (x, y) \in R\} \qquad (\ast)$$ es una función $R^{-1}: Y \to X$ decimos que $R^{-1}$ es el inversa de $R$ y que $R$ (considerada como una función) es invertible .

Por otra parte, la definición $(\ast)$ tiene mucho sentido para cualquier relación $R$ y no sólo las relaciones que son funciones; así, para cualquier relación $R$ definimos el relación inversa $R^{-1}$ por esa fórmula.