Las variedades como objetos terminados de Cauchy

Question

La categoría de las variedades suaves (SmoothMfld) puede considerarse la terminación de Cauchy de la categoría $U$ de subconjuntos abiertos de espacios euclidianos (con mapas suaves) [1]. Este hecho me resulta chocante, ya que proporciona una intrínseco definición de las variedades lisas.

Si este hecho se puede generalizar a los colectores equipados con otros tipos de estructuras, tendríamos una perspectiva totalmente nueva de lo que debe ser un colector.

Por desgracia, la prueba dada en [1] sólo funciona para variedades lisas: Aparte de algunas tonterías categóricas, el quid de la prueba (dada en [1]) reside en el hecho de que el conjunto de puntos fijos de cualquier idempotente en $U$ vuelve a tener una estructura de colector liso. Esto requiere esencialmente el uso del espacio tangente y, lo que es más importante, el teorema de la función inversa

Aun así, eso no prueba que falle para otros casos. Por lo tanto, esta pregunta: ¿Es la categoría (X-Mfld) la terminación de Cauchy de la correspondiente $U$ ¿para que X sea topológico, lineal a trozos, complejo, analítico, etc.?

Referencia

[1] Autores de nLab, " capítulo 4: La categoría de los múltiples lisos ", Sobre Karoubi (Revisión 35) Agosto de 2022.

Answer 1

(Ampliando el artículo de Phil Tosteson comentario .) No: la caracterización de la compleción de Cauchy no es válida para los casos PL, topológicos o analíticos complejos.

El punto técnico clave es que los idempotentes divididos son siempre absoluto es decir, preservado por todos los functores, en particular el functor olvidadizo a $\mathrm{Top}$ . Esto dice que cualquier división de un idempotente debe ser precisamente (hasta iso) el subespacio de puntos fijos, como era de esperar.

Con esto en la mano, es fácil comprobar que en las categorías PL y topológicas, el subespacio de puntos fijos de un idempotente no suele ser un colector, por lo que la categoría de colectores no es Cauchy-completa. . Tomemos por ejemplo el repliegue idempotente PL $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\R^2$ en las líneas $x = \pm y$ , enviando $(x,y)$ a $\min(\left|x\right|,\left|y\right|)(\newcommand{\sg}{\operatorname{sg}}\sg(x),\sg(y))$ (donde $\sg(x)$ indica el signo de $x$ , en $\{1,-1\}$ ).

Al contrario, en la categoría analítica compleja, no todas las variedades surgen como escisión de un idempotente ya que no todas las múltiples complejas se encajan en alguna $\mathbb{C}^n$ . Por ejemplo, las variedades complejas compactas conectadas no tienen funciones holomorfas no constantes a $\mathbb{C}$ esto se deduce fácilmente del principio del módulo máximo.