Problemas con un teorema en el Metalogic de Hunter

Question

Soy estudiante de lógica y estoy leyendo el Metalogic de Hunter. Tengo problemas para entender y ejemplificar parte de un teorema del libro. Es el teorema 40.14, pp. 156-7.

40.14. Sean t y u términos. Sea t' el resultado de sustituir cada aparición de vk en t por u. Sea s una secuencia, y sea u*s=d, es decir, sea d el miembro de D asignado por I a u para la secuencia s. Sea s' s(d/k): es decir, sea s' la secuencia que resulta de sustituir d por el k-ésimo término de s. Entonces t' s=t s': es decir, el miembro de D asignado por I a t' para la secuencia s es el mismo que el miembro de D asignado por I a t para la secuencia s'.

Prueba (por inducción):

Base: n=1

Hay 3 casos:

1. $t$ es una constante;
2. $t$ es una variable $v_j$ y $j$ es diferente de $k$
3. $t$ es una variable $v_j$ y $j=k$ .

Los casos 1 y 3 son fáciles. Pero no puedo demostrar el caso 2, y además no se me ocurre ningún ejemplo. ¿Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

En tu caso 2, $t = v_j$ con $j \neq k$ la sustitución de $u$ para $v_k$ no tiene ningún efecto sobre $t$ !. Así que $t' = t$ .

Pero también, la secuencia $s'$ es igual a la secuencia $s$ excepto en el $k$ º lugar. Ahora $v_j \ast s$ es el $j$ ésimo elemento de $s$ que también es el $j$ ésimo elemento de $s'$ .

Por lo tanto nada cambia y en este caso $t' \ast s = t \ast s' = t \ast s$ .

Answer 2

Les asignación función $s$ es una función :

$s : Var \to D$

donde $Var$ es el conjunto de variables : $v_1, v_2, v_3, \ldots, v_k, \ldots$ y $D$ es el dominio de la interpretación $I$ .

Supongamos un ejemplo sencillo con $D = \{ a, b, c, d, ... \}$ y que $s$ la siguiente asignación :

$s(v_1)=a, s(v_2)=b, s(v_3)=c$ y $s(u)=d$ .

Considere $s'=s[d/2]$ es decir :

$s'(v_1)=a, s'(v_2)=d, s(v_3)=c$ .

En este caso, tenemos : $k=2$ .

¿Qué ocurre si $t$ es $v_3$ es decir $t$ es $v_j$ con $j=3$ y así $j \ne k$ ? Claramente, $v_2$ no se produce en $t$ así, la sustitución de cada ocurrencia de $v_2$ en $t$ por $u$ no produce ningún cambio y $t'=t$ .

Como puede ver : $s'(v_3)=c=s(v_3)$ y así $s'[t]=s'(v_3)=c=s(v_3)=s[t]=s[t']$ .