¿Es cero esta diferencia de integrales de superficie? $\oint_S\bar{\psi}\nabla(x\cdot\nabla\psi)\cdot n dS-\oint_S(x\cdot\nabla\psi)\nabla\bar{\psi}\cdot ndS$

Question

Esta es la pregunta de seguimiento de ¿Cuándo desaparece esta integral que aparece en la derivación del teorema cuántico del virial? y basándose en esta respuesta .

¿Se desvanece la siguiente diferencia de integrales de superficie, si todo lo que sabemos es $\nabla|\psi|^2\cdot\mathbf{n}=0$ es decir, el campo vectorial gradiente de $|\psi|^2=\bar\psi\psi$ es de flujo local nulo en la superficie. $$ \oint_S\bar{\psi}\nabla\left(\mathbf{x}\cdot\nabla\psi\right)\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S-\oint_S(\mathbf{x}\cdot\nabla\psi)\nabla\bar{\psi}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S $$ En primer lugar, rompamos $\nabla|\psi|^2$ aparte: $$ \nabla|\psi|^2=\nabla(\bar\psi\psi)=\psi\nabla\bar\psi + \bar\psi\nabla\psi $$ Esto no nos ayuda realmente, pero en realidad $\psi$ podemos continuar. Desde $\nabla|\psi|^2=2\psi\nabla\psi$ Sabemos que $\psi\nabla\psi\cdot\mathbf{n}=0$ en la superficie de nuestros dominios de flujo cero. Esto sigue sin ser realmente útil, así que supongamos que $\nabla\psi\cdot\mathbf{n}=0$ (aunque $\psi=0$ ). Finalmente, el segundo término desaparece, lo que nos deja con: $$ =\oint_S\psi\nabla\left(\mathbf{x}\cdot\nabla\psi\right)\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S $$ Ahora, podemos continuar con el gradiente del producto escalar. Aquí, $\nabla\mathbf{A}$ es la transpuesta del jacobiano de $\mathbf{A}$ . En realidad no importa que esté transpuesto, ya que los jacobianos deben ser simétricos aquí. $$ \begin{aligned} =&\oint_S\psi\nabla\left(\mathbf{x}\cdot\nabla\psi\right)\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S\\ =&\oint_S\psi\left[\left(\nabla\nabla\psi\right)\cdot\mathbf{x}\right]\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S +\oint_S\psi\left[\left(\nabla\mathbf{x}\right)\cdot\nabla\psi\right]\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S \end{aligned} $$ Ahora la matriz de Jacobi de $\mathbf{x}$ es la matriz unitaria, de modo que $$ \begin{aligned} =&\oint_S\psi\left[\left(\nabla\nabla\psi\right)\cdot\mathbf{x}\right]\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S +\oint_S\psi\nabla\psi\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S\\ =&\oint_S\psi\left[\left(\nabla\nabla\psi\right)\cdot\mathbf{x}\right]\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S \end{aligned} $$ A partir de aquí, no sé muy bien cómo continuar. Puedo escribir todo como sumas de nuevo, pero eso no ayuda:

$$ =\oint_S\psi\sum_jn_j\sum_ix_i \frac{\partial^2\psi}{\partial x_i\partial x_j}\mathrm{d}S $$

¿Puede demostrarse que la diferencia inicial es cero para las condiciones dadas para a) cualquier función, b) una función real?

Answer 1

$\def\vk{{\bf k}} \def\vx{{\bf x}} \def\vn{{\bf n}} \def\j{\psi} \def\jc{\overline\j} \def\o{\cdot} \def\VF{{\bf F}}$ En general, la diferencia no desaparece. Denotemos la diferencia por $I$ .

Contraejemplo 1 ( $\j$ complejo): Sea $\j = e^{i\vk\o\vx}$ y $S$ la esfera de radio $a$ centrado en el origen. Se encuentra $\nabla|\j|^2 = \nabla 1 = {\bf 0}$ , pero $I = -\frac 8 3 \pi a^3 \vk^2$ .

Contraejemplo 2 ( $\j$ real): Sea $\j = \cos x$ y $S$ la superficie del cubo $[0,\pi]^3$ . Se encuentra $\nabla|\j|^2 = \langle-\sin x,0,0\rangle$ , así que $\nabla|\j|^2=0$ en todas las facetas del cubo, pero $I = -\pi^3$ .

Anexo

Para cumplir el requisito de que $\j$ sea una función de onda, y $\j=0$ fuera de $S$ y normalizar en caso necesario. No se modifica gran cosa del cálculo.

Answer 2

No, las integrales de superficie no tienen por qué ser iguales. Tomemos por ejemplo $ = r^2 - 1$ donde $r(\mathbf{x}) = \sum_i {x_i}^2$ es la función de distancia radial desde el origen y $S$ la esfera unitaria. Entonces $^2 = (r^2-1)^2$ y así $(^2) = (r^2-1) 2 r$ desaparece en la esfera unitaria. Pero \begin{equation} \renewcommand{\d}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \int_S (\mathbf{x} \cdot ) \cdot \mathbf{n} \d S = 0 \end{equation} porque $$ desaparece en la esfera mientras que \begin{equation} \int_S (\mathbf{x} \cdot ) \cdot \mathbf{n} \d S = \int_S r \cdot 2r \cdot 2r \d S = 16 \end{equation} desde $ = 2r \hat{e}_r$