Demuéstralo: $\frac{f(x+g(x))-f(g(x))}{x} \to f'(0)$ a medida que x se acerca a $0$

Question

Me hicieron esta pregunta: Prueba $$\frac{f(x+g(x))-f(g(x))}{x} \xrightarrow{x\to0} f'(0)$$ si $|g(x)|\le|x|$ y $f(x)$ es diferenciable en cero.

Aquí hay una pregunta muy parecida: Prueba $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x+g(x))-f(g(x))}{x}=f'(0)$ Pero allí f es diferenciable en todas partes, sin embargo aquí $g(x)\to 0$ y menor que $x$ pero no he podido encontrar la manera de resolverlo ya que no puedo utilizar el teorema del valor medio, ni decir nada sobre $f'(x)$ sin la definición.
No puedes usar integrales en tu respuesta porque aún no las hemos aprendido en clase.

Cualquier ayuda es muy apreciada

Answer 1

Dado $\epsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ tal que $$ |f(x) - f(0) - xf'(0) | < \epsilon |x| $$ para $|x| < \delta$ .

Ahora elija $|x| < \delta/2$ . Entonces $|g(x)|<\delta$ y $|x+g(x)| < \delta$ y, por lo tanto $$ \left| \frac{f(x+g(x))-f(g(x))}{x}-f'(0)\right| \\ = \left| \frac{f(x+g(x))-f(0)-(x+g(x))f'(0)}{x} - \frac{f(g(x))-f(0)-g(x)f'(0)}{x}\right| \\ \le \frac{|f(x+g(x))-f(0)-(x+g(x))f'(0)|}{|x|} + \frac{|f(g(x))-f(0)-g(x)f'(0)|}{|x|} \\ \le \frac{\epsilon|x+g(x)|}{|x|}+ \frac{\epsilon|g(x)|}{|x|} \le 3 \epsilon \, . $$

Answer 2

Por diferenciabilidad $f(a) = f(0) + f'(0)a + o(a)$ en torno a $0$ tenemos $$f(x+g(x))=f(0) + f'(0)(x+g(x)) + o(x+g(x))$$ $$f(g(x))=f(0)+f'(0)g(x) + o(g(x))$$

Tenga en cuenta que $o(g(x))=o(x)$ porque $|g(x)|\le |x|$ por lo tanto, como $x\rightarrow 0$ , $$\frac{f(x+g(x))-f(g(x))}{x} = \frac{f'(0)x+o(x)}{x}\rightarrow f'(0)$$

Answer 3

Recordatorio: una secuencia $(x_n)$ converge a $x$ si y sólo si cada subsecuencia $(x_{n_k})$ tiene una subsecuencia $(x_{n_{k_l}})$ convergiendo hacia $x$ .

Elija cualquier secuencia $(x_n)$ con $x_n \neq 0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ y $x_n \to 0$ . A continuación, elija cualquier subsecuencia $(x_{n_k})$ . Por Bolzano-Weierstraß existe una subsecuencia convergente de $\frac{g(x_{n_k})}{x_{n_k}}$ con límite $y$ ya que $\left|\frac{g(x_{n_{k_l}})}{x_{n_{k_l}}} \right| \leq 1$ . W.l.o.g. dejar $x_{n_{k_l}}+ g(x_{n_{k_l}}) \neq 0$ y $g(x_{n_{k_l}}) \neq 0$ para todos $l \in \mathbb{N}$ .

Escriba a $\frac{f(x_{n_{k_l}} + g(x_{n_{k_l}})) -f(g(x_{n_{k_l}}))}{x_{n_{k_l}}} = \frac{f(x_{n_{k_l}}+g(x_{n_{k_l}}))-f(0)}{x_{n_{k_l}}+g(x_{n_{k_l}})}\frac{x_{n_{k_l}} + g(x_{n_{k_l}})}{x_{n_{k_l}}} - \frac{f(g(x_{n_{k_l}})) - f(0)}{g(x_{n_{k_l}})}\frac{g(x_{n_{k_l}})}{x_{n_{k_l}}} \to f'(0)(1+y)-f'(0)y = f'(0)$ . Dado que la subsecuencia $(x_{n_k})$ se eligió arbitrariamente, $\frac{f(x_n + g(x_n)) -f(g(x_n))}{x_n} \to f'(0)$ Por lo tanto, como $(x_n)$ era arbitraria, $\frac{f(x+g(x)) - f(g(x))}{x} \to f'(0)$ .