Ceros de las derivadas superiores de $\zeta(s)$

Question

Los ceros de las sucesivas derivadas de orden superior de la función zeta de Riemann parecen agruparse a lo largo de líneas aproximadamente horizontales.

¿Hay alguna explicación heurística de por qué ocurre esto (especialmente dentro de la franja crítica)?

R. Spira, en Regiones libres de cero de $\zeta^{(k)}(s)$ escribió "Los ceros de $\zeta^{\prime\prime}$ tienen parte imaginaria casi exactamente igual a las de $\zeta^\prime$ y túmbate a su derecha". La figura 1 de su artículo muestra ceros de $\zeta^\prime$ marcados con triángulos, y ceros de $\zeta^{\prime\prime}$ marcados con cuadrados.

A continuación Mathematica gráfico del argumento de $\zeta^{\prime\prime}/\zeta^\prime(s)$ para $1/2\le \sigma\le 1$ y $10^6\le t\le 10^6+20$ (Cinco tiras de altura $4$ .). Los polos en los ceros de $\zeta^\prime(s)$ tienen a la orientación opuesta de colores que los ceros de $\zeta^{\prime\prime}(s)$ tener.

S.L Skorokhodov, en "Pade Approximants and Numerical Analysis of the Riemann zeta function", Computational Mathematics and Mathematical Physics vol 43 (2003) pp. 1277-1299, la fórmula (7.7) diferencia la expansión en serie de Dirichlet para $\zeta(s)$ término por término (para $\sigma>1$ ), y deduce "Por lo tanto, es de nuevo natural esperar un cero de la derivada $\zeta^\prime(s)$ a la derecha [sic] de cada cero finito de $\zeta^{\prime\prime}(s)$ ."

No lo entiendo, sobre todo en lo que respecta a los ceros en la franja crítica.

Binder, Pauli, y Saidak, en "Zeros of High Derivatives of the Riemann Zeta Function", Rocky Mountain J. Math, vol 45 (2015), pp. 903-926 tienen resultados similares (Teorema 2.3), de nuevo utilizando la serie de Dirichlet. Observan cadenas de ceros hasta el orden 90:

A partir del Teorema 3 del artículo seminal de Levinson y Montgomery, podemos ver que esto sucede de media en un intervalo de tamaño, digamos, $U=\log T$ : $$\frac{2\pi}{\log T}\left(\sum_{T<\gamma^{(k+1)}<T+\log T}(\beta^{(k+1)}-1/2)-\sum_{T<\gamma^{(k)}<T+\log T}(\beta^{(k)}-1/2)\right) =\log\log T/2\pi+O(1).$$ El lado derecho es independiente de $k$ .

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Edición/Corrección: El corolario de la Levinson-Montgomery resultado habla de la horizontal espaciado de las derivadas superiores consecutivas, por término medio independiente de $k$ . Pero no aborda la observación de Spira sobre la vertical espaciado: derivadas superiores consecutivas casi a la misma altura.

Answer 1

Considere el valor absoluto del $n$ ª derivada $\zeta^{(n)}$ . Es grande (en magnitud) a la izquierda y se inclina hacia abajo para ser asimétrica a 0 a medida que se desplaza hacia la derecha. Un cero de esa función es un valle agudo que interrumpe la tendencia general. Un cero de su derivada es un punto de equilibrio de esa superficie. Así que uno debe esperar que el punto de inflexión esté directamente a la derecha del valle (porque desde la izquierda el terreno se inclina hacia abajo, y a medida que se sale hacia la derecha del valle, éste se inclina hacia arriba antes de reanudar su tendencia general descendente). Eso podría no ocurrir si hubiera otros valles cercanos, provocando que que la topografía fuera extraña. Pero eso ocurre raramente.

La imagen anterior podría no ser del todo exacta en la franja crítica, pero todas esas imágenes de ceros de derivadas sucesivas están en la región de convergencia absoluta.

Answer 2

He aquí otro enfoque. Supongamos la hipótesis de Riemann para simplificar. Como $\sigma\to +\infty$ , $\zeta^{\prime\prime}/\zeta^\prime(s)\to -\log(2)$ . Mientras tanto, en la línea crítica, $\zeta^{\prime\prime}/\zeta^\prime(s)$ estará dominada por los términos de la suma $\sum_{\rho^\prime} 1/(s-\rho^\prime)$ con $\rho^\prime$ cerca de $s$ y esto implica que la parte real de $\zeta^{\prime\prime}/\zeta^\prime(s)$ volverá a ser negativo.

Ahora fija un cero $\rho^\prime$ de $\zeta^\prime(s)$ y considerar las curvas de nivel $\arg(\zeta^{\prime\prime}/\zeta^\prime(s))=C$ saliendo del polo en $\rho^\prime$ en particular la curva $C=0$ (es decir, Im( $\zeta^{\prime\prime}/\zeta^\prime(s)$ )=0 y Re( $\zeta^{\prime\prime}/\zeta^\prime(s)$ ) $>0$ .). Por las observaciones anteriores, este contorno no puede cruzar la línea crítica, ni extenderse demasiado en el semiplano derecho. La única posibilidad es que termine en un cero de $\zeta^{\prime\prime}(s)$ . Desde $$\frac{\zeta^{\prime\prime}}{\zeta^\prime}(s)=\frac{1}{s-\rho^\prime}+O(1),$$ el contorno tiene que salir del polo hacia la derecha, por lo que los ceros de $\zeta^{\prime\prime}$ estará normalmente a la derecha de los ceros de $\zeta^\prime$ .

Los gráficos siguientes muestran, para $1/2\le\sigma\le 5/2$ y $10^6\le t\le 10^6+10$ el argumento de $\zeta^{\prime\prime}/\zeta^\prime(s)$ a la izquierda, y sólo las curvas correspondientes a los cuatro ejes de coordenadas a la derecha. Nos centramos en las curvas rojas. (Nota: el gráfico de la izquierda es el mismo que el de la pregunta original, pero he corregido un error en el archivo Mathematica ComplexPlot[] que desplaza la fase en $\pi$ )

Este mismo argumento sirve también para los derivados superiores.