¿Por qué los libros de cálculo pasan por alto los valores absolutos?

Question

El ejemplo arquetípico está en la ecuación $\frac{dy}{dx}=y.$ Al resolver por separación, se acaba llegando al resultado \begin{align*} |y|&=C_1 e^x \\ \Rightarrow y&=C_2 e^x. \\ \end{align*} La justificación de este paso, según muchas fuentes, es el hecho de que el + o - del valor absoluto puede combinarse con la constante para obtener una nueva constante. Sin embargo, esto cae en la trampa del punto: ¿qué impide que la función tome la rama positiva en algunos puntos y la rama negativa en otros? En este caso, hacer la función a trozos destruye la continuidad, violando la ecuación diferencial inicial, pero se necesitaría un paso extra para confirmar rigurosamente este resultado.

Un problema mayor surge en el caso de ecuaciones diferenciales como $\frac{dy}{dx}\cdot \frac{1}{2}x=y,$ digamos que con la condición inicial $(1,1).$ De nuevo, esta ecuación es bastante fácil de resolver por separación de variables para obtener el resultado $y=x^2$ como solución, ¿o no? Pues resulta que, $y=\textbf{sgn}(x)\cdot x^2$ también satisface la ecuación diferencial en todas partes, así como la condición inicial. Esto, al menos para mí, es alarmante, ya que nunca he visto este tipo de soluciones "patológicas" tratadas en la resolución de ecuaciones diferenciales, y no puedo encontrar nada en Internet sobre esto tampoco, a pesar de que esta es una ecuación diferencial extremadamente simple que sin duda ha aparecido en libros de texto o pruebas antes. Incluso WolframAlpha ignora esta solución y sólo da $y=x^2.$ ¿Es algo que se suele pasar por alto, o los profesores/autores pensaron que no era importante, o... qué? Aún no he encontrado una explicación satisfactoria. También se lo he preguntado a mi profesor, pero tampoco he obtenido una respuesta satisfactoria.

Answer 1

Dado que su pregunta se refiere específicamente a los valores absolutos, me gustaría interrogar ligeramente una afirmación de la misma:

Al resolver por separación, se acaba llegando al resultado $|y| =C_1 e^x$

Es de suponer que esta afirmación se basa en algo que aprendiste en cálculo de una sola variable, a saber, que $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x|$ . Una cosa que se está pasando por alto aquí es el significado de esta última ecuación. La expresión $\frac{1}{x}$ no define una función en $\mathbb{R}$ por lo que moralmente no tiene una sola antiderivada en $\mathbb{R}$ como sugiere la fórmula. Más bien, tiene dos antiderivadas, $\ln(x)$ en $(0, \infty)$ y $\ln(-x)$ en $(-\infty, 0)$ . Y claro que se puede resumir todo esto con una sola fórmula, pero resulta algo engañoso hacerlo. (En mi experiencia, los libros de texto de cálculo tratan bien este punto, pero es lo suficientemente sofisticado como para que pase desapercibido para la mayoría de los estudiantes de cálculo con una sola variable, y sería un profesor excéntrico el que se dedicara a taladrar el punto).

Teniendo en cuenta la cuestión anterior, una manera de ver lo que está pasando es que en el momento en que haya llegado a la declaración $|y| = C e^x$ ya has pasado por la parte dudosa del argumento, que trata de lo que ocurre en la separación de variables en los puntos en los que un lado u otro tiene división por cero. Lo mismo ocurre en el segundo ejemplo, donde la división por cero ocurre en ambos lados de la ecuación separada.

Answer 2

Hay dos respuestas posibles a tu pregunta (al menos en mi mente), ninguna de las cuales es particularmente satisfactoria.

$1)$ La razón por la que los libros de cálculo pasan por alto los aspectos que mencionas en tu pregunta es que ofrecen una descripción relativamente sencilla de las matemáticas. Es decir, están enseñando las matemáticas y añadir ese nivel de rigor y detalle no proporcionaría una comprensión mejor/más útil de las ecuaciones diferenciales.

$2)$ El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene su origen en la resolución de problemas reales de física e ingeniería. La razón por la que se pueden ignorar los detalles más sutiles es que, sencillamente, no importan para la gran mayoría de las ecuaciones diferenciales que se encuentran en las aplicaciones del mundo real. Usted pregunta "¿qué impide que la función tome la rama positiva en algunos puntos y la rama negativa en otros?". Bueno, la realidad principalmente. No hay ningún proceso físico (al menos ninguno que se me ocurra) que una función de este tipo describa, por lo que podemos ignorar con seguridad una solución de este tipo.

No juzgo la idoneidad matemática de ninguno de estos razonamientos, sólo creo que son las respuestas más probables.

Answer 3

Como señala Angélica en su comentario, esto no es realmente una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario. Estoy de acuerdo con QC_CQAOA en que las explicaciones más probables son las que se dan en su respuesta .

Si sólo necesita $\ y\ $ sea al menos una vez diferenciable en $\ x=0\ $ entonces la solución general de tu segundo ejemplo sobre toda la recta real es $$\ y=\big(C_1H(x)+C_2H(-x)\big)x^2\ ,$$ donde $ H\ $ es el Función escalón de Heaviside . Para especificar ambos $\ C_1\ $ y $\ C_2\ $ de forma única, se necesita una condición inicial para algunos $\ x_1>0\ $ (para determinar $\ C_1\ $ ) y otro para algunos $\ x_2<0\ $ (para determinar $\ C_2\ $ ). Si necesita $\ y\ $ ser al menos dos veces diferenciable en $\ x=0\ $ Sin embargo, debe tener $\ C_1=C_2\ $ y existe una solución única para una única condición inicial dada en cualquier $\ x_3\ne0\ $ .