Alguien puede ayudar? Deje $g:I \to \mathbb{R}$ ser un uniforme de función continua, donde $I$ es un intervalo. Probar que existe una constante $c$ que satisface: $$\lvert g(x)-g(y)\rvert < 1 + c \lvert x-y \rvert, \forall x,y \in I$$
Respuestas
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Aplicar la sugerencia de @5pm. Tome $\delta$ en la definición de continuidad uniforme que corresponde a $\epsilon=1$. Usted puede suponer $\delta<1$ (disminución de la $\delta$ no hace daño). Dado $x,y\in I$ deje $x=x_0<x_1<\dots <x_n = y$, de modo que $|x_{i+1} - x_i|< \delta$. Usted puede hacer esto con $n = \lceil (x-y)/\delta \rceil$, por lo que $$ |f(x)-f(y)| \le \sum_{i=1}^n |f(x_{i})-f(x_{i-1})| \le n = \lceil (x-y)/\delta \rceil \le 1 + (x-y)/\delta. $$ Deje $c=1/\delta$ y listo.
Noble.
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A partir de la definición de continuidad uniforme tiene que $|x-y|<\delta$ implica $|g(x) - g(y)| < \epsilon$ y específicamente $\delta$ puede depender sólo de $\epsilon$ y debe ser independiente de $x$$y$. Por lo tanto se tendría que $|x-y|< M\epsilon$ donde $M \in \mathbb{R}$ todos los $x,y \in I$ implica $|g(x) - g(y)| < \epsilon$.
A partir de aquí yo no estoy del todo seguro de dónde ir, me pregunto si puede suponer $\epsilon <1$ así que usted consigue $1 + \frac{1}{M}|x-y| < 1 + \epsilon$ pero ya que, a partir de la definición de continuidad de la $\epsilon > 0$ obtener $1 <1 + \frac{1}{M}|x-y| < 1 + \epsilon$
Así
$|g(x) - g(y)| < 1 + \frac{1}{M}|x-y|$
Donde $\frac{1}{M}$ es su constante.
No hay mucho más personas calificadas aquí aunque (sólo estoy nervioso acerca de la publicación de la misma en caso de que te lleva en una dirección equivocada)
