Relación entre los enfoques de dos haces de ruptura espontánea de simetría

Question

Intento comprender si existe una relación entre dos formulaciones de la ruptura espontánea de simetría.

El primero lo proporciona Derdzinski en su libro "Geometría del modelo estándar de partículas elementales" en el que tenemos un haz vectorial $(E, M, \mathbb{C}^2)$ con un producto interior habitual en cada fibra, y el campo de Higgs se identifica con una sección global $\phi: M \rightarrow E$ con norma constante $|\phi| = v$ . A continuación, consideramos el subfondo (un haz de líneas) generado por $\phi^\perp$ como un haz eletromagnético.

El segundo enfoque es el natural en términos de haces principales. Dado un haz principal $(P, M, G= SU(2) \times U(1))$ consideramos eletromagnético como un subfondo que viene dado por una sección global $h: M \rightarrow P/U(1)$ como garantizan Kobayashi & Namizu en las páginas 57-58 de su libro "Foundations of differential geometry vol. 1". $P/U(1)$ es un haz con fibra típica $G/U(1) \simeq SU(2)$ .

Mi problema es que el paquete de líneas $\phi^\perp$ (es el haz de fotogramas) no parecen tener nada que ver con el haz principal del segundo caso. La mejor relación que consigo ver es: como $\phi$ pertenece a la órbita $Gv$ para todos $x\in M$ que es difeomorfo a $G/ U(1) \simeq SU(2)$ podemos utilizar la sección global $\phi$ para obtener una sección global del haz $P/U(1)$ . Pero, no consigo relacionar el $\phi^\perp$ subfajo.

Creo que hay una estructura profunda detrás de estas cosas. Ambos tienen resultados posteriores que parecen correctos. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Antes de continuar, permítanme hacer algunas observaciones algebraicas.

1. Podemos ver $U(1)$ como subgrupo de $U(2)$ mediante el homomorfismo inyectivo $\iota : U(1) \to U(2)$ dada por $$\forall z \in U(1), \quad \iota(z) := \begin{pmatrix} 1&0\\0&z \end{pmatrix};$$ además, para todas las ortonormales $\{v,w\} \subset \mathbb{C}^2$ de modo que $[v\vert w] \in U(2)$ tenemos $$\forall z \in U(1), \quad [v\vert w]\cdot \iota(z) = [v \vert zw],$$ de modo que el mapa $(g \mapsto (g_{11},g_{21})^T) : U(2) \to S^3 \subset \mathbb{C}^2$ desciende a la izquierda $U(2)$ -difeomorfismo equivariante $F : U(2)/U(1) \to S^3$ .
2. Podemos ver $U(1) \times SU(2)$ como doble portada de $U(2)$ mediante el homomorfismo suryectivo $\mu : U(1) \times SU(2) \to U(2)$ dada por $$\forall (z,g) \in U(1) \times SU(2), \quad \mu(z,g) := zg,$$ donde $\ker\mu = \langle (-1,-I_2) \rangle \cong \mathbb{Z}_2$ . Como pronto veremos, tendrás que trabajar con $U(2) \cong (U(1) \times SU(2))/\mathbb{Z}_2$ en lugar de $U(1) \times SU(2)$ pero nótese que el homomorfismo de álgebra de Lie inducido $\mu_\ast : \mathfrak{u}(1) \oplus \mathfrak{su}(2) \to \mathfrak{u}(2)$ es un isomorfismo. 1

Sea $M$ sea una variedad lisa y $E \to M$ sea un haz vectorial hermitiano de rango $2$ que son precisamente sus datos $(E,M,\mathbb{C}^2)$ . Sea $P \xrightarrow{\pi} M$ sea el haz de tramas ortonormal del haz vectorial hermitiano $E$ que es el principal $U(2)$ -una nueva reducción del grupo estructural a $U(1) \times SU(2)$ sería una estructura adicional no trivial que en realidad no necesitamos. Modulo esta sutileza, tienes razón, uno puede usar los isomorfismos canónicos $$P \times_{U(2)} \mathbb{C}^2 \to E, \quad P \times_{U(2)} (U(2)/U(1)) \to P/U(1)$$ y las identificaciones resultantes de secciones globales con mapas equivariantes para construir una biyección explícita entre los siguientes conjuntos (que pueden o no estar vacíos):

• el conjunto de secciones globales $\phi$ de $E$ con $\lvert \phi \rvert = 1$ ;
• el conjunto de todas las secciones globales del haz de fibras asociado $P/U(1) \to M$ .

Dada una sección global $\phi$ de $E$ con $\lvert \phi \rvert = 1$ afirmo que la reducción del grupo estructural de $P$ inducida por la correspondiente sección global de $P/U(1)$ recupera el haz de círculos del haz de líneas $\phi^\perp$ .

Ahora, supongamos que $\phi$ es una sección global de $E$ con $\lvert \phi \rvert = 1$ dejar $\tilde{\phi} : P \to \mathbb{C}^2$ sea la correspondiente $U(2)$ -de modo que la sección global $\psi$ de $P/U(1)$ inducida por $\phi$ corresponde al $U(2)$ -equivariante $\tilde{\psi} : P \to U(2)/U(1)$ dada por $$\forall p \in P,\quad \tilde{\psi}(p) := F^{-1} \circ \tilde{\phi}(p) = \begin{pmatrix} \tilde{\phi}(p)_1 & -\overline{\tilde{\phi}(p)_2} \\ \tilde{\phi}(p)_2 & \overline{\tilde{\phi}(p)_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & U(1) \end{pmatrix}.$$ La sección $\psi$ de $P/U(1) \to M$ produce una reducción del grupo estructural de $P$ a $U(1)$ es decir, el principal $U(1)$ -paquete $$\tilde{P} := \{ p \in P \,\mid\, p \cdot U(1) = \psi(\pi(p))\}$$ satisfaciendo $P \cong \tilde{P} \times_{U(1)} U(2)$ como director $U(2)$ -bundles on $M$ . Desembalando las definiciones y los isomorfismos canónicos y aplicando la observación 1, se puede comprobar que $$\forall x \in M, \quad \tilde{P}_x := \{(\phi_x,w) \, \mid \, w \in \phi_x^\perp, \, \lvert w \rvert = 1\}.$$ Pero ahora, esto es claramente isomorfo como principal $U(1)$ -bundle over $M$ al haz circular $$Q := \{ w \in \phi^\perp \mid \lvert w \rvert = 1\}$$ de $\phi^\perp$ mediante el isomorfismo $f : Q \to \tilde{P}$ dada por $$\forall x \in M, \, \forall w \in Q_x, \quad f(w) := (\phi_x,w).$$

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1 Compara el Modelo Estándar, donde el famoso grupo $U(1) \times SU(2) \times SU(3)$ es en realidad un $6$ -del verdadero grupo estructural $(U(1) \times SU(2) \times SU(3))/\mathbb{Z}_6$ . Dado que el homomorfismo de recubrimiento de los grupos de Lie induce un isomorfismo explícito de las álgebras de Lie, se puede trabajar formalmente con el grupo $U(1) \times SU(2) \times SU(3)$ a costa de introducir cargas fraccionarias.