Antes de continuar, permítanme hacer algunas observaciones algebraicas.
- Podemos ver $U(1)$ como subgrupo de $U(2)$ mediante el homomorfismo inyectivo $\iota : U(1) \to U(2)$ dada por $$ \forall z \in U(1), \quad \iota(z) := \begin{pmatrix} 1&0\\0&z \end{pmatrix}; $$ además, para todas las ortonormales $\{v,w\} \subset \mathbb{C}^2$ de modo que $[v\vert w] \in U(2)$ tenemos $$ \forall z \in U(1), \quad [v\vert w]\cdot \iota(z) = [v \vert zw], $$ de modo que el mapa $(g \mapsto (g_{11},g_{21})^T) : U(2) \to S^3 \subset \mathbb{C}^2$ desciende a la izquierda $U(2)$ -difeomorfismo equivariante $F : U(2)/U(1) \to S^3$ .
- Podemos ver $U(1) \times SU(2)$ como doble portada de $U(2)$ mediante el homomorfismo suryectivo $\mu : U(1) \times SU(2) \to U(2)$ dada por $$ \forall (z,g) \in U(1) \times SU(2), \quad \mu(z,g) := zg, $$ donde $\ker\mu = \langle (-1,-I_2) \rangle \cong \mathbb{Z}_2$ . Como pronto veremos, tendrás que trabajar con $U(2) \cong (U(1) \times SU(2))/\mathbb{Z}_2$ en lugar de $U(1) \times SU(2)$ pero nótese que el homomorfismo de álgebra de Lie inducido $\mu_\ast : \mathfrak{u}(1) \oplus \mathfrak{su}(2) \to \mathfrak{u}(2)$ es un isomorfismo. 1
Sea $M$ sea una variedad lisa y $E \to M$ sea un haz vectorial hermitiano de rango $2$ que son precisamente sus datos $(E,M,\mathbb{C}^2)$ . Sea $P \xrightarrow{\pi} M$ sea el haz de tramas ortonormal del haz vectorial hermitiano $E$ que es el principal $U(2)$ -una nueva reducción del grupo estructural a $U(1) \times SU(2)$ sería una estructura adicional no trivial que en realidad no necesitamos. Modulo esta sutileza, tienes razón, uno puede usar los isomorfismos canónicos $$ P \times_{U(2)} \mathbb{C}^2 \to E, \quad P \times_{U(2)} (U(2)/U(1)) \to P/U(1) $$ y las identificaciones resultantes de secciones globales con mapas equivariantes para construir una biyección explícita entre los siguientes conjuntos (que pueden o no estar vacíos):
- el conjunto de secciones globales $\phi$ de $E$ con $\lvert \phi \rvert = 1$ ;
- el conjunto de todas las secciones globales del haz de fibras asociado $P/U(1) \to M$ .
Dada una sección global $\phi$ de $E$ con $\lvert \phi \rvert = 1$ afirmo que la reducción del grupo estructural de $P$ inducida por la correspondiente sección global de $P/U(1)$ recupera el haz de círculos del haz de líneas $\phi^\perp$ .
Ahora, supongamos que $\phi$ es una sección global de $E$ con $\lvert \phi \rvert = 1$ dejar $\tilde{\phi} : P \to \mathbb{C}^2$ sea la correspondiente $U(2)$ -de modo que la sección global $\psi$ de $P/U(1)$ inducida por $\phi$ corresponde al $U(2)$ -equivariante $\tilde{\psi} : P \to U(2)/U(1)$ dada por $$ \forall p \in P,\quad \tilde{\psi}(p) := F^{-1} \circ \tilde{\phi}(p) = \begin{pmatrix} \tilde{\phi}(p)_1 & -\overline{\tilde{\phi}(p)_2} \\ \tilde{\phi}(p)_2 & \overline{\tilde{\phi}(p)_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & U(1) \end{pmatrix}. $$ La sección $\psi$ de $P/U(1) \to M$ produce una reducción del grupo estructural de $P$ a $U(1)$ es decir, el principal $U(1)$ -paquete $$ \tilde{P} := \{ p \in P \,\mid\, p \cdot U(1) = \psi(\pi(p))\} $$ satisfaciendo $P \cong \tilde{P} \times_{U(1)} U(2)$ como director $U(2)$ -bundles on $M$ . Desembalando las definiciones y los isomorfismos canónicos y aplicando la observación 1, se puede comprobar que $$ \forall x \in M, \quad \tilde{P}_x := \{(\phi_x,w) \, \mid \, w \in \phi_x^\perp, \, \lvert w \rvert = 1\}. $$ Pero ahora, esto es claramente isomorfo como principal $U(1)$ -bundle over $M$ al haz circular $$ Q := \{ w \in \phi^\perp \mid \lvert w \rvert = 1\} $$ de $\phi^\perp$ mediante el isomorfismo $f : Q \to \tilde{P}$ dada por $$ \forall x \in M, \, \forall w \in Q_x, \quad f(w) := (\phi_x,w). $$
1 Compara el Modelo Estándar, donde el famoso grupo $U(1) \times SU(2) \times SU(3)$ es en realidad un $6$ -del verdadero grupo estructural $(U(1) \times SU(2) \times SU(3))/\mathbb{Z}_6$ . Dado que el homomorfismo de recubrimiento de los grupos de Lie induce un isomorfismo explícito de las álgebras de Lie, se puede trabajar formalmente con el grupo $U(1) \times SU(2) \times SU(3)$ a costa de introducir cargas fraccionarias.
