Series de Laurent en varias variables complejas

Question

¿Existe una buena generalización de las series de Laurent para varias variables complejas?

Me interesan las series de potencias generalizadas que tienen algunos términos con potencias negativas, pero no demasiados. En el análisis complejo de una variable, "no demasiados" significa que la serie (de Laurent) sólo tiene un número finito de términos con una potencia negativa de la variable. En varias variables, quiero que al menos algo como $\frac1{1- z/w} = \sum_{n\geq 0} z^n w^{-n}$ cuenta como serie de Laurent generalizada: Mientras que el exponente de $w$ puede llegar a ser arbitrariamente pequeño, al menos está acotado en términos del exponente de $z$ .

¿Alguien ha pensado en este tipo de series?

Answer 1

Una buena condición es que los vectores exponentes se encuentren en una unión de de un cono poliédrico cono poliédrico $\mathcal{C}$ (con vértice en el origen). ``Puntual'' significa que $\mathcal{C}$ no contiene una línea (infinita en ambos direcciones). Con esta condición, si fijamos el cono $\mathcal{C}$ entonces se define formalmente el producto de dos series de potencias. Tales series aparecen, por ejemplo, en el teorema de Brion, siendo una referencia la sección 9.3 de Beck y Robins, Cálculo de la variable discreta continua .

Nota. La condición de que los vectores exponentes se encuentren en una unión finita de traslaciones de $\mathcal{C}$ equivale a decir que mienten en una única traslación de $\mathcal{C}$ ya que una unión finita de está contenida en una sola traslación.

Answer 2

La forma más sencilla de tratar series como $\sum_{n=0}^\infty z^n w^{-n}$ es con series de Laurent iteradas. Esta serie es un elemento del anillo $\mathbb{Z}((w))[[z]]$ series de potencias en $z$ cuyos coeficientes son series de Laurent en $w$ . (En este caso los polinomios de Laurent en $w$ sería suficiente).

Un enfoque mucho más general, aunque más complicado, es a través de Serie Hahn (también llamada serie de Mal'cev-Neumann) en la que tenemos una indeterminada con exponentes de un grupo ordenado, con la condición de que los exponentes correspondientes a los términos no nulos estén bien ordenados. (La condición de bien ordenadas implica que la multiplicación de estas series está bien definida). Para representar $\sum_{n=0}^\infty z^n w^{-n}$ de este modo, tomamos como grupo exponente el grupo aditivo $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ordenados lexicográficamente. Con $x$ como la indeterminada, las series consideradas son de la forma $\sum_{(i,j)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}} x^{(i,j)}$ . Multiplicamos monomios por $x^{(i_1,j_1)} x^{(i_2,j_2)}=x^{(i_1+i_2, j_1+j_2)}$ . Podemos identificar $x^{(i,j)}$ con $z^iw^j$ . Entonces \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty z^n w^{-n}=\sum_{n=0}^\infty x^{(n,-n)} \end{equation*} es admisible ya que el conjunto de exponentes $\{(0,0), (1,-1), (2,-2),\dots\}$ no contiene ninguna secuencia decreciente infinita. Por otra parte \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty z^{-n} w^{n}=\sum_{n=0}^\infty x^{(-n,n)} \end{equation*} no está permitido ya que el conjunto de exponentes contiene la secuencia decreciente infinita $(0,0)>(-1,1)>(-2,2)>\dots$ .