Añado una respuesta a esta pregunta porque estoy tanto de acuerdo como en desacuerdo con trujello en los comentarios a la pregunta.
Estoy de acuerdo en que la definición que da Riehl es algo opaca para un principiante, pero definitivamente discrepo de que la definición sea mala. Esta es la definición que utilizo intuitivamente ahora, aunque ciertamente no fue la primera que aprendí (en parte porque nunca vi una definición clara cuando estaba aprendiendo, sólo un montón de ejemplos).
También creo que si empiezas aprendiéndote esta definición evitarás un par de errores comunes que me he encontrado en el pasado. Por ejemplo, esta definición deja claro el papel del elemento universal. Un producto no es sólo un objeto, sino un objeto con una familia específica de proyecciones que satisfacen una propiedad.
Un poco de filosofía sobre las definiciones
¿Qué hace que una definición sea buena? Un posible punto de vista es que una buena definición matemática es aquella que abstrae un montón de situaciones comunes en algún área de las matemáticas e identifica la característica clave que permite entenderlas como ejemplos del mismo concepto subyacente.
Una consecuencia de este punto de vista es que la definición puede parecer opaca cuando no se está tan familiarizado con las situaciones que se abstraen como para ver cómo encajan todas en este mismo concepto. (Por ejemplo, recientemente me han presentado el concepto de categorías trianguladas, cuyos ejemplos son la categoría de homotopía estable, las categorías derivadas de complejos y la teoría de la representación modular, ninguna de las cuales me resulta especialmente familiar, lo que dificulta un poco la comprensión de la definición).
¿Cómo entender entonces tales definiciones?
La respuesta que voy a dar consta de dos partes, e intentaré proporcionarlas en esta respuesta. En primer lugar, hay que entender los ejemplos que motivan la definición. Un buen libro de texto de álgebra no deja caer la definición de grupo sobre los estudiantes sin ejemplos, y esta definición de propiedad universal es lo mismo. Debe ir acompañada de una larga lista de ejemplos. En segundo lugar, hay que hacer explícita la relación entre los ejemplos motivadores y la definición.
Dicho esto, pasemos a responder a la verdadera pregunta planteada más arriba, cómo entender la definición de Riehl y qué ocurre exactamente con los elementos universales/su unicidad.
Ejemplos motivadores de propiedades universales
Nótese que todos estos ejemplos se describen como poseedores de propiedades universales tanto si se presentan en la forma de Riehl como si no. La definición de Riehl utiliza el nombre de propiedad universal porque es el nombre que ya se utiliza para todos los ejemplos. Por tanto, tendré que utilizarla tanto en el sentido tradicional como en el sentido de Riehl, aunque resulten equivalentes.
Además, tengo una pequeña objeción sobre la redacción exacta de su definición, que puede o no contribuir a tu confusión sobre la unicidad del elemento universal. Yo diría que el objeto representativo $c$ es un objeto universal el elemento $x\in F(c)$ es el elemento universal y el par $(c,x)$ tiene el propiedad universal que representa el functor $F$ .
Productos (límites más generales)
Sea $C$ sea una categoría, $x,y\in C$ objetos. Un producto de $x$ et $y$ es un objeto $x\times y$ y un par de morfismos $\pi_1 : x\times y \to x$ , $\pi_2:x\times y \to y$ de forma que propiedad universal (no obviamente en el sentido de Riehl) se cumple:
Para todos los objetos $z$ con un par de morfismos $p_1 : z\to x$ et $p_2:z\to y$ existe un morfismo único $(p_1,p_2): z\to x\times y$ tal que $\pi_1(p_1,p_2) = p_1$ y $\pi_2(p_1,p_2)=p_2$ .
En relación con la definición de Riehl: Necesitamos un functor y un elemento universal. El functor aquí es $C(-,x)\times C(-,y)$ donde $C(x,y)$ es la notación para los morfismos de $x$ a $y$ en la categoría $C$ . En otras palabras, este functor envía un objeto $z$ a pares de morfismos $(p_1:z\to x, p_2:z\to y)$ .
Un objeto de representación para $C(-,x)\times C(-,y)$ consiste en un par de un objeto $x\times y$ y un elemento universal $$(\pi_1,\pi_2)\in C(x\times y,x)\times C(x\times y,y),$$ tal que $(\pi_1,\pi_2)$ define un isomorfismo natural $$C(-,x\times y)\simeq C(-,x)\times C(_,y).$$ Esta propiedad del elemento universal se traduce en que morfismos $f:z\to x\times y$ corresponden biyectivamente a pares de mapas $(f_1:z\to x,f_2:z\to y)$ vía $f\mapsto (\pi_1\circ f,\pi_2\circ f)$ que es la primera versión de la propiedad universal dada en la definición del producto.
Grupos abelianos libres (más generalmente objetos libres)
Sea $S$ sea un conjunto. Sea $U$ sea el functor olvidadizo de grupos abelianos a conjuntos. Sea $\newcommand\Z{\mathbb{Z}} \Z\{S\}$ denotan el abeliano libre libre sobre el conjunto $S$ con $[s]$ que denota el elemento de base correspondiente a un elemento dado $s\in S$ . La propiedad universal (de nuevo, no obviamente la definición de Riehl, aunque equivalente) de $\Z\{S\}$ es que para cualquier grupo abeliano $A$ y cualquier mapa $\phi:S\to UA$ existe un morfismo único $\tilde{\phi}:\Z\{S\}\to A$ tal que $\tilde{\phi}([s])=\phi(s)$ .
En relación con la definición de Riehl El functor aquí es $\newcommand\Set{\mathbf{Set}} \Set(S,U-)$ . El objeto universal debe ser $\Z\{S\}$ y el elemento universal debe ser una función $\psi : S\to U\Z\{S\}$ , que es $\psi(s)=[s]$ . La transformación natural correspondiente a $\psi$ envía un morfismo $\tilde{\phi}:\Z\{S\}\to A$ a la función $s\mapsto \tilde{\phi}([s])$ . El hecho de que esta transformación natural sea un isomorfismo natural da lugar a la versión de la propiedad universal anterior.
Productos tensores
De nuevo, daremos la definición tradicional del producto tensorial. El producto tensorial $V\otimes_k W$ de espacios vectoriales $V$ et $W$ sobre un campo $k$ es un espacio vectorial con un $k$ -mapa bilineal $\otimes : V\times W\to V\otimes_k W$ tal que para cualquier $k$ -mapa bilineal $\phi : V\times W\to U$ existe un único mapa lineal $\tilde{\phi}:V\otimes_k W\to U$ con $\phi =\tilde{\phi}\circ \otimes$ .
Aquí el functor es $\newcommand\Bilin{\operatorname{Bilin}}\Bilin_k(V,W;-)$ el objeto universal es $\otimes$ el elemento universal es $\otimes$ y vemos que la propiedad universal se refiere a una biyección entre los mapas $\newcommand\Vect{\mathbf{Vect}}\Vect_k(V\otimes_kW,U)$ et $\Bilin_k(V,W;U)$ .
Por supuesto, hay muchos más ejemplos de propiedades universales, pero lo dejaré aquí.
Elementos universales y su unicidad
En primer lugar, los objetos universales y los elementos universales no suelen ser únicos, pero son únicos hasta el isomorfismo único en un sentido que explicaré más adelante.
En primer lugar, un ejemplo de no unicidad. En el ejemplo del producto tensorial podemos tomar cualquier automorfismo de $V\otimes_k W$ como $k$ -espacio vectorial, $\alpha$ y $\alpha\circ \otimes$ también será un elemento universal. El punto a sacar de esto es que el producto tensorial no es sólo el objeto $V\otimes_k W$ (a pesar de la notación algo engañosa), es el par $(V\otimes_k W,\otimes)$ . Es decir, el par de un objeto universal y un elemento universal. Estos pares no son únicos, pero son únicos hasta el isomorfismo único, que es casi lo mejor que se puede conseguir en la teoría de categorías.
Supongamos que $(c,x)$ es un par representativo para un functor $F$ y supongamos $(c',x')$ también es un par representativo de $F$ . Entonces existe un isomorfismo único $c\to c'$ tal que $F(c\to c')$ envía $x$ a $x'$ . La prueba de ello es una aplicación del lema de Yoneda: Tenemos isomorfismos naturales $$C(c,-)\simeq F\simeq C(c',-),$$ donde corresponden los siguientes elementos $$1_c\leftrightarrow x\leftrightarrow \phi:c'\to c$$ $$\psi:c\to c'\leftrightarrow x'\leftrightarrow 1_{c'}.$$ Aplicación de $\psi$ a la primera correspondencia, y $\phi$ a la segunda correspondencia, obtenemos $$\psi \leftrightarrow F(\psi)(x)\leftrightarrow \psi\phi$$ $$\phi\psi\leftrightarrow F(\phi)(x')\leftrightarrow \phi.$$ Comparándolas con el primer par de correspondencias, vemos que $\psi\phi = 1_{c'}$ , $\phi\psi = 1_c$ y $F(\psi)(x) = x'$ lo que demuestra la existencia del isomorfismo reivindicado. La unicidad se debe a que si $F(\beta)(x)=x'$ entonces obtendríamos $\beta \leftrightarrow x' \leftrightarrow \beta\phi$ que obliga a $\beta = \psi$ .
