Hallar el sumo y el ínfimo de {x $\in$ [0,1]: x $\notin$ $\mathbb Q$ }. Demuestre por qué sus afirmaciones son correctas

Question

Ok me pierdo con esta pregunta. ¿Significa eso $x$ sólo puede ser $0$ o $1$ ? ¿Y no puede ser racional?

Answer 1

Demuestro que $1$ es el sumo del conjunto $A := \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \cap [0,1]$ y puedes intentar el caso infimo.

La prueba se basa en el hecho de que entre cada dos números reales hay algún irracional. (Porque $\mathbb{R}$ es el cierre de $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ .)

Por definición, es equivalente demostrar que para cada $\varepsilon > 0$ hay algo de $x \in A$ tal que $1 - \varepsilon < x \leq 1$ . Pero esto es cierto, ya que entre dos números reales cualesquiera hay algún irracional.

Answer 2

¿Significa eso que x sólo puede ser 0 ó 1? ¿Y no puede ser ningún racional?

No, significa $x$ es cualquier irracional entre $0$ et $1$ .

$\{x\in [0;1]: x\notin \Bbb Q\}$ es: el conjunto de números del intervalo real $0$ a $1$ inclusive, de manera que estos números tampoco están en los racionales.

Ahora, encuentra el supremum de este conjunto. Primero, ¿cuál es su definición de un supremum?

Un conjunto $E ⊂ R$ está acotado por encima si $∃ b ∈ R$ s.t. $a \leq b, ∀ a ∈ E$ ( $b$ es un límite superior para $E$ )

No, esa no es la definición de supremum. Es la definición de límite superior. Un supremum es un tipo especial de límite superior. Es el menos tal.

Un valor $s\in R$ es la suma de $E$ si $\;\nexists b\in R: \forall a\in E: ((a\leq b) \wedge (b< s)\wedge (a\leq s))$

Ahora, ¿puedes encontrar ese límite superior para tu conjunto? ¿Puede demostrar que este es el supremum.

Answer 3

Recuerde que $[0,1]$ es un intervalo en la recta real que contiene todos los números entre $0$ et $1$ incluyendo $0$ et $1$ .

Ahora, $\{x \in [0,1] \mid x \not \in \Bbb Q \}$ es un subconjunto del intervalo $[0,1]$ pero es el subconjunto que obtenemos eliminando todos los puntos racionales de $[0,1]$ .

Entonces, tienes que pensar en todos los números irracionales en $[0,1]$ y hallar el sumo y el ínfimo de ese conjunto.

Sabemos desde $\Bbb R$ es completa que como el conjunto en cuestión está limitado por encima por $5$ por ejemplo, tiene un límite superior mínimo que es el supremum. ¿Sabes cuál es el límite superior más pequeño? Es el $1$ ya que $1$ es mayor que cada irracional en $[0,1]$ pero es menor que todos los límites superiores de los irracionales en $[0,1]$ (¿por qué?).

Ahora tienes que encontrar el ínfimo del conjunto de irracionales en $[0,1]$ por tu cuenta. Si te quedas atascado, házmelo saber.