Anillo de valor real secuencias convergentes

Question

Aquí es un divertido y desafiante problema:

Deje $R$ denotar el anillo de valor real secuencias convergentes y dejar $S$ denotar el anillo de valor real de las secuencias. Probar o refutar que $S\cong R$.

La cardinalidad de estos dos anillos son de la misma (ver Asaf la respuesta aquí), pero estoy un poco en duda la existencia de un bijection que preserve la estructura de anillo.

Agradecería algunos consejos.

Fuente: Este es el último problema de esta hoja de tarea (como se puede ver, la fecha límite es el tiempo pasado).

Answer 1

Recordemos que un anillo elemento $r$ es idempotente si $r^2=r$.

El anillo de $R$ de secuencias convergentes sólo ha countably muchos idempotents. Para una secuencia $(x_n)$ es idempotente, precisamente, si alguna de las $x_i$ $0$ o $1$. Si el idempotente secuencia $(x_n)$ converge, todos excepto un número finito de la $x_i$$0$, o todos, pero un número finito de se $1$.

El anillo de $S$ de todas las secuencias tiene una cantidad no numerable de idempotents.

Por lo tanto $R$ $S$ no pueden ser isomorfos.

Comentario: La propiedad de tener sólo countably muchos idempotents no es expresable en el primer orden lenguaje de los anillos. Sería interesante saber si $R$ $S$ son elementarily equivalente.