¿Existe un patrón en las raíces complejas de la integral sinusoidal? $\mathrm{Si}\left(\frac{z}{2}\right)$ ?

Question

Estaba trabajando con el Integral sinusoidal $\mathrm{Si}\left(\frac{z}{2}\right)$ y encontré que tiene un número infinito de raíces complejas reflejadas en los cuatro cuadrantes. En el primer cuadrante estas comienzan con:

$$ 11.9303627666221643518173848082 + 6.01119131213006773157261708415 \cdot i\\ 24.7070169417149873195705173033 + 7.37455299482618861728760608970 \cdot i\\ 37.3725098362278317680187364308 + 8.17692229518364269643530815855 \cdot i\\ 49.9976565288211086812290841074 + 8.74796328051411644007205709150 \cdot i\\ \cdots $$

A continuación se muestra un gráfico ampliado de estas raíces en el primer cuadrante ( $z=x+iy$ ):

y parece que todas las raíces se encuentran en una curva en forma de logaritmo. Después de algunos intentos, la curva $y=2\log(x)+\frac12\,\log(2\,\pi)$ ofrece un ajuste bastante decente:

P: Obviamente, el ajuste anterior es sólo una conjetura mía, pero tengo curiosidad por saber si se sabe algo más sobre el patrón de estas raíces. He buscado mucho en Internet, pero no he encontrado nada. Agradezco cualquier referencia y/o pista sobre cómo encontrar la curva exacta (si existe) en la que se encuentran las raíces.

Answer 1

En un comentario, escribí "Esta es una buena observación" . Estoy totalmente equivocado ya que es $\color{red}{\text{remarkable}}$ ¡!

Sin ninguna idea preconcebida, realicé, con extrema precisión, los cálculos de la primera $2000$ raíces y luego, basándose en su trabajo, utilizó el modelo $$y=a\log(x)+b$$

Los resultados de la regresión lineal son $$\begin{array}{|llll} \hline \text{} & \text{Estimate} & \text{Std Error} & \text{Confidence Interval} \\ a & 1.9989369 & 0.0000806 & \{1.9987789,1.9990949\} \\ b & 0.9130792 & 0.0007409 & \{0.9116262,0.9145323\} \\ \end{array}$$

Para esta regresión, $R^2=0.9999999657$

Estos números están tan cerca de tu expresión que probablemente puedas conjeturarlo.

Pero, para una comprobación rápida, calcular el $5000^{\text{nd}}$ raíz $$x=63435.038198600614034283457758965563050039115269153,\cdots$$ $$y=23.018708803640584372540630832612830290071615109658,\cdots$$

$$2\log(x)+\frac12\,\log(2\,\pi)=23.03448181$$ muestra que, probablemente, sería necesaria una corrección muy pequeña.

Utilizar para $x$ una estimación de $4 k \pi$ utilizando su fórmula para el $5000^{\text{nd}}$ raíz, los iterados de Newton son

$$\left( \begin{array}{cc} 0 & 62831.8530717959+24.4016677711\, i \\ 1 & 62831.8527501440+23.3938122064\, i \\ 2 & 62831.8524664822+23.0360195052\, i \\ 3 & 62831.8524045073+22.9999299632\, i \\ 4 & 62831.8524033580+22.9996004068\, i \\ \end{array} \right)$$ que es bastante espectacular.

Por lo tanto, al menos para valores grandes de $k$ El $k^{\text{th}}$ raíz de

$$\mathrm{Si}\left(\frac{z}{2}\right)=0$$ es $$z_{(k)} \sim 4 \pi k+i \log \left(16 \sqrt{2} \pi ^{5/2} k^2\right)$$

Editar

Suponiendo que para valores grandes de $k$ la solución viene dada por $$x_k=4k\pi \quad \quad y_k=2\log(x_k)+a\quad\quad z_k=x_k+i\, y_k$$ considere la ecuación $$f_k(a)=\Bigg[\Re\left(\text{Si}\left(\frac{z_k}{2}\right)\right)\Bigg]^2+\Bigg[\Im\left(\text{Si}\left(\frac{z_k}{2}\right)\right)\Bigg]^2$$ que se resuelve numéricamente mediante el método de Newton a partir de $$a_0=\frac{1}{2} \left(2 \log \left(\frac{\pi }{2}\right)+\frac{1}{2} \log (2 \pi)\right)$$ Utilizando $k=10^n$ los resultados son elocuentes $$\left( \begin{array}{cc} n & a_{10^n} \\ 1 & 0.90145748249383053660\\ 2 & 0.90313659211589139775\\ 3 & 0.90316500566623502304\\ 4 & 0.90316540531377253466\\ 5 & 0.90316541046509332494\\ 6 & 0.90316541052815491646\\ 7 & 0.90316541052890101619\\ 8 & 0.90316541052890963203\\ 9 & 0.90316541052890973083\\ 10 & 0.90316541052890973083\\ 11 & 0.90316541052890973084\\ \end{array} \right)$$

Este número también se identifica con el $ISC$ como $2 \log \left(\frac{\pi }{2}\right)$

Actualización

Después de la respuesta de @Gary $$x_k=4 \pi k-\frac{\log (k)}{\alpha \, k}\quad \quad y_k=2\log(x_k)+2 \log \left(\frac{\pi }{2}\right)\quad\quad z_k=x_k+i\, y_k$$ y calcula $\alpha$ con $k=5^n$ empezando por $\alpha_0=2$ $$\left( \begin{array}{cc} n & \alpha_{5^n} \\ 1 &1.40577 \\ 2 &1.94402 \\ 3 &2.22709 \\ 4 &2.40189\\ 5 &2.52059 \\ 6 &2.60646 \\ 7 &2.67146\\ 8 &2.72269 \\ 9 &2.76164 \\ 10 &2.82973 \\ \end{array} \right)$$

Utilización como modelo empírico $$\alpha_{5^n}=a-\frac b{c+5^n}$$ el ajuste es casi perfecto $(R^2=0.999987)$ y los parámetros son $$\begin{array}{l|lll} \text{} & \text{Estimate} & \text{Std Error} & \text{Confidence Interval} \\ \hline a & \color{red}{3.16500} & 0.01670 & \{\color{red}{3.12551,3.20448\}} \\ b & 4.05097 & 0.16182 & \{3.66833,4.43362\} \\ c & 1.30543 & 0.07768 & \{1.12174,1.48912\} \\ \end{array}$$

Answer 2

Se trata de una consideración heurística. A partir del expansión asintótica de $\operatorname{Si}$ podemos deducir que $$ \operatorname{Si}\left( {\frac{z}{2}} \right) \approx \frac{\pi }{2} - \frac{2}{z}\cos \left( {\frac{z}{2}} \right) $$ para valores grandes de $z$ . Así, las raíces de $\operatorname{Si}\left( {\frac{z}{2}} \right)$ son aproximadamente las raíces de $$ \frac{\pi }{4}z = \cos \left( {\frac{z}{2}} \right). $$ Tomando las partes real e imaginaria y aproximando las funciones hiperbólicas por exponenciales, llegamos al sistema $$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm e}^{y/2} \displaystyle\cos \left( {\frac{x}{2}} \right) = \frac{\pi }{2}x, \\[1ex] {\rm e}^{y/2} \displaystyle\sin \left( {\frac{x}{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}y, \\ \end{array} \right. $$ con $z=x+\mathrm{i}y$ . La suma cuadrada de estas ecuaciones da como resultado $$ {\rm e}^y = \frac{{\pi ^2 }}{4}(x^2 + y^2 ), $$ que tiene la solución aproximada $$ y \approx 2\log x + 2\log (\pi /2). $$ Aplicando esto en la segunda ecuación, obtenemos $$ \sin \left( {\frac{x}{2}} \right) \approx - \frac{y}{x} \Longrightarrow x \approx 4\pi k + 2\arcsin \left( { - \frac{y}{x}} \right) \approx 4\pi k - \frac{{4\log x}}{x}, $$ con $k=0,1,2,\ldots$ . La última ecuación se resuelve aproximadamente mediante $$\boxed{ x_k \approx 4\pi k - \frac{{\log k}}{{\pi k}}.} $$ La parte imaginaria correspondiente es entonces $$\boxed{ y_k \approx 2\log x_k + 2\log (\pi /2).} $$