¿Tienen cabida los estudios empíricos en la investigación matemática contemporánea?

Question

Hace un tiempo estuve pensando en la conjetura de Collatz (lo sé, no es lo más sano). Se me ocurrió que aunque no pudiera demostrar que es cierta para todos enteros positivos, podría dedicar 20 minutos a programar una simulación para generar unos cuantos millones de enteros pseudoaleatorios y probarlos para ver si siguen la conjetura, y luego publicar mis resultados como un estudio empírico, como se hace todos los días en las ciencias físicas y sociales:

Probamos diez millones de enteros positivos generados según el algoritmo pseudoaleatorio definido por Jones [citar], y luego los comparamos con nuestra función TestCollatz(EnormousInt). Observamos que el 100% de la muestra generada cumplía la conjetura con un intervalo de confianza del 99% de más o menos 0,1%. Conclusión: Las pruebas apoyan firmemente la conjetura de Collatz. Esperamos que futuras investigaciones en este campo puedan probar miles de millones o incluso billones de enteros para ganar aún más confianza en la exactitud del modelo de Collatz.

Pronto me di cuenta de que no existía ningún algoritmo para generar una muestra estadísticamente representativa en un conjunto de cardinalidad $\aleph_0$ con recursos informáticos finitos, por lo que mi idea de estudio fue infructuosa.

Al dar un paso atrás en mi erróneo experimento mental, me di cuenta de que no recordaba haber oído hablar de una reciente empírico estudio de las matemáticas. Más bien se centra en las pruebas formales y en la confianza al 100% únicamente a través del razonamiento lógico y matemático (no de datos experimentales). ¿Existe o se realiza investigación empírica? Puedo encontrar mucha investigación empírica en matemáticas educación (por ejemplo, comprobar si iniciar a los niños en aritmética a los cinco años en lugar de a los seis aumenta los resultados de los exámenes estandarizados), pero la investigación en educación matemática es en realidad una ciencia social y no matemáticas per se.

Si hay empírico papers en matemáticas, ¿podría darme algunos ejemplos de citas de algunos interesantes o notables para leer? Si hoy en día no se hace investigación empírica en matemáticas, ¿por qué?

Para que quede claro, no estoy preguntando por la conjetura de Collatz en concreto ni por qué mi idea era un disparate. Ya sé por qué. Estoy preguntando si hay bien ejemplos de estudios empíricos en matemáticas a nivel de investigación.

En cuanto a lo que entiendo por "estudio empírico", me refiero al "método científico" estándar de hacer una revisión de la literatura, formar una hipótesis, diseñar un estudio, aleatorizar grupos experimentales y de control, hacer el estudio, recopilar los datos, analizarlos estadísticamente, formar una conclusión y publicar. Por ejemplo, si un investigador médico quiere demostrar que un nuevo fármaco funciona, no publica una prueba de cinco páginas consistente en ecuaciones de reacciones químicas que afirma que el fármaco desencadena en el organismo, sino que administra el fármaco a un grupo de muestra y ve qué ocurre.

Answer 1

Puede consultar la revista Matemáticas experimentales que publica artículos originales con resultados formales inspirados en la experimentación, conjeturas sugeridas por los experimentos y datos que apoyan hipótesis significativas .

Answer 2

Yo diría rotundamente que sí. Personalmente, estudio teoría de la representación y cohomología de grupos finitos. Para hacerme una idea de lo que ocurre antes de desarrollar la teoría o antes de formular conjeturas, suelo realizar un gran número de experimentos con Magma, en ejemplos de un rango en el que esto es posible. En los casos en que esto produce listas de números, utilizo el manual en línea de Sloane sobre secuencias de números enteros para identificar lo que podría estar pasando. Un buen ejemplo es mi reciente artículo con Pavel Etingof, "On cohomology in symmetric tensor categories in prime characteristic". Aquí, damos una conjetura para la cohomología de ciertas categorías tensoriales simétricas nuevas en característica primera, y demostramos que esta conjetura es cierta hasta "F-isomorfismo". La prueba consistió literalmente en muchos cientos de cálculos utilizando Magma, y el patrón que surgió fue muy convincente.

Answer 3

No sé si los matemáticos consideran la criptografía un área "verdadera" de las matemáticas, pero es como mínimo un área aplicada bastante teórica de las matemáticas que mezcla

• un fuerte énfasis en resultados/técnicas demostrables, y
• un fuerte énfasis en experimental resultados/técnicas.

Idealmente, todos los resultados serían demostrables, y los criptógrafos desarrollarían esquemas que fueran incondicionalmente segura en determinados modelos de computación. Sin embargo, esto plantea problemas: demostrar resultados de imposibilidad en computación eficiente es notoriamente difícil (por ejemplo $P$ vs $NP$ basta con demostrar cualquier límite inferior superpolinómico en el cálculo de SAT. Creo que los mejores límites inferiores que tenemos son de la forma $6n$ en algún modelo TM explícito de computación --- es decir, ligeramente mejor que el trivial $n$ límite inferior, pero aún $\Omega(n)$ ).

Ante este problema, la criptografía suele dividirse en dos partes

• hipótesis de dureza, que pueden tener algunos resultados demostrables, pero que en su mayoría se validan por medios experimentales, y
• que se demuestran formalmente seguras, siempre que la hipótesis de dureza subyacente sea segura.

Aunque se pueden examinar teóricamente los supuestos de dureza (por ejemplo, mostrando cosas llamadas "autorreducciones aleatorias" que implican que las instancias del caso medio del problema subyacente son aproximadamente tan difíciles como las instancias del caso peor), todo lo que se necesita para invalidar un supuesto de dureza es un buen trabajo experimental. Por ejemplo

• el esquema de firma RAINBOW (en el concurso del NIST para una firma "post-cuántica") fue atacado el año pasado en el documento Breaking RAINBOW se pasa el fin de semana en un portátil . Por supuesto, existe una descripción teórica del ataque, pero los resultados demostrables relativos al ataque no importan realmente cuando se puede verificar experimentalmente que funciona. Del mismo modo

• criptosistemas basados en el problema Diffie Hellman de isogenia supersingular sufrido ataques devastadores el año pasado . De nuevo, aunque se puede demostrar la eficacia de los distintos algoritmos, esto es realmente una preocupación de segundo orden ante el hecho de que alguien pueda escribir algún código SAGE que extraiga la clave secreta del criptosistema.

Hay otras tendencias experimentales en este campo; por ejemplo, se sabe que el algoritmo de reducción de bases LLL funciona "mejor en promedio/en la práctica" de lo que sugieren sus límites en el peor de los casos. Se ha trabajado mucho (motivado por el potencial para el criptoanálisis) experimentalmente tratando de entender con precisión lo que esto significa. Véase, por ejemplo, el trabajo de Nguyen y Stehle de 2006 LLL de media aunque hay muchos funciona así. Esto parece realmente más cerca de lo que estás preguntando, y es ampliamente citado por su experimental resultados sobre el terreno.

Answer 4

Aunque hay proyectos que comprueban cada vez más casos de algunas conjeturas, es raro que realmente aumenten el grado de certeza de que esas conjeturas son realmente ciertas. Es poco probable que 10 números más (o 10^10 más) para los que se cumple la conjetura de Collatz cambien la opinión de nadie al respecto.

Para lo que sirven los estudios empíricos es para averiguar cuál es el problema en cuestión, es decir, para formular conjeturas (¡y no para demostrarlas!). El ejemplo reciente más espectacular es, por supuesto este artículo de Nature que utiliza el aprendizaje automático para establecer un patrón entre algún objeto de la teoría de nudos y la teoría de la representación (¡los resultados observados se demuestran en otro artículo!).

Otro tipo de resultados que pueden considerarse empíricos son del tipo siguiente: demostrar una conjetura para todos los casos excepto para un número finito (con un límite sobre cuáles son) y verificar los casos restantes en un ordenador. Si no recuerdo mal, así es como Helfgott demostró la conjetura ternaria de Goldbach (véase este documento para la parte empírica).

Answer 5

respuesta de coudy , indicándole el Matemáticas experimentales es la respuesta correcta, y ya hay otras preguntas MO sobre matemáticas experimentales que son relevantes, pero no puedo resistirme a dar algunos ejemplos.

• He aquí un ejemplo que tiene un sabor similar al tuyo, pero con la hipótesis de Riemann en lugar de la conjetura de Collatz. En su Matemáticas. Comp. papel, Sobre la distribución de espaciamientos entre ceros de la función zeta , Andrew Odlyzko informó sobre un estudio computacional de Conjetura de correlación de pares de Montgomery . Por supuesto, hay muchos otros ejemplos en Matemáticas. Comp. A menudo, el criterio de publicación aquí es algún tipo de novedad algorítmica (por ejemplo, se han tenido que idear nuevas técnicas algorítmicas para llevar el cálculo mucho más lejos que antes).

• Un caballo de batalla de la matemática experimental es el descubrimiento empírico de relaciones entre números reales aplicando algoritmos de reducción de bases reticulares a sus expansiones decimales. Algunas de ellas pueden demostrarse, mientras que otras siguen siendo conjeturas. Un ejemplo que me gusta es Sobre un nuevo tipo de serie de Ramanujan , de Jesús Guillera, que entre otras cosas presenta Conjetura de Gourevitch : $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1+14n+76n^2+168n^3}{2^{20n}}\binom{2n}{n}^7 = \frac{32}{\pi^3}.$$

• Documento de Siemion Fajtlowicz Sobre las conjeturas de Graffiti informó sobre un programa que buscaba empíricamente conjeturas sobre la teoría de grafos. Por supuesto, la mayoría eran triviales o falsas o conocidas, pero algunas resultaron ser nuevas conjeturas cuya demostración no era trivial.