Embaldosar un rectángulo de 7×7 con trominos

Question

Se nos da una $7 \times 7$ matriz. Queremos eliminar un $1 \times 1$ cuadrado, de modo que la forma restante pueda cubrirse con $1 \times 3$ triomino.

¿Cuáles son las posibles posiciones de la casilla eliminada?

Answer 1

Puede colorear la matriz como $$\pmatrix{ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ }$$ y puesto que hay $17$ ceros y $16$ de cada otro número, el cuadrado que falta tiene que ser un $0$ .

Pero también puedes colorearlo como $$\pmatrix{ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ }$$ así que el quare que falta tiene que ser $0$ en ambas coloraciones, es decir, tiene que ser una esquina o un punto medio de un lado, o el punto central.

Es fácil ver cómo hacer la coloración en cada uno de estos casos:

• Si falta una esquina, digamos la superior izquierda, entonces coloca a triminoes horizontalmente cubriendo la parte superior, y el resto verticalmente, dos en cada columna.

• Si falta el punto medio de un lado, haz lo mismo, sólo que ahora los dos triminós horizontales están separados por el espacio que falta.

• si falta el cuadrado central, coloque dos triminoes horizontalmente a lo largo de la fila central, separados por el espacio central. Quedan dos bandas horizontales de 3x7, que pueden colocarse en vertical.

Answer 2

Consejo: Averigua qué bloques pueden colocarse en la cuadrícula: $1 \times 3, 4 \times 3, 7 \times 3, 5 \times 3, 6/times 3$ etc.

Consejo 2: Utilice el método de ensayo y error:

Consejo 2.1: Elimine partes de la cuadrícula con $7 \times x$ para reducir el tamaño de la cuadrícula. El funcionamiento de este método puede demostrarse fácilmente

Consejo 2.1.1 : No recorte más pequeño que un $4 \times 4$ cuadrícula

Consejo X:

Por si aún no te has dado cuenta, las simetrías y las rotaciones son equivalentes entre sí.

La respuesta que obtuve fue $9$ . Como creo que no lo ha intentado usted mismo, le dejaré la prueba a usted, utilizando los consejos anteriores...