Sea $X$ y $Y$ sean variables aleatorias independientes. Encontrar $ \mathbb P \{ \max(X, Y) - \min(X, Y) \gt 0.2 \} $ .

Question

Sea $X$ y $Y$ sean variables aleatorias independientes para las que $X \sim > \text{exp}(2)$ y $Y \sim \text{exp}(3)$ . Visite $P(\max(X, Y) - \min(X, Y) \gt 0.2) $ .

1) Sé que esta respuesta ya se ha preguntado aquí pero me interesa la "forma inteligente" sugerida por el autor de la pregunta. ¿Alguien sabe lo que tenía en mente?

2) Además, respecto a su propio método de convolución: Establece $T= \max(X, Y) - \min(X, Y)$ lo que significa que $T=|X-Y|$ ¿por qué necesita dos integrales cuando encuentra $F_T(t)$ ?

3) En los comentarios de esa pregunta en particular, hay un tipo que dice que la segunda integral debe comenzar en $t$ . ¿Por qué empieza en $t$ en el segundo y en $0$ en la primera integral?

Answer 1

Una propiedad interesante de las distribuciones exponenciales es la propiedad sin memoria. Puedes ver las variables aleatorias exponenciales como un modelo para el tiempo de llegada de una cosa. La propiedad sin memoria dice que si has esperado hasta el tiempo $t_0$ y no ha observado ninguna llegada, es decir, sabe que $X> t_0$ el tiempo de llegada sigue la misma distribución exponencial, es decir: $$ P(X>t_0+s|X>t_0) = P(X>s). $$

Supongamos ahora que $Y$ es una variable aleatoria independiente arbitraria, entonces todavía se puede ver que $$ P(X>s+Y|X>Y)=P(X>s). $$ Por lo tanto, para $X\sim\exp(a)$ y $Y\sim\exp(b)$ tenemos $$ P(|X-Y|>s)=P(|X-Y|>s|X>Y)P(X>Y)+P(|X-Y|>s|Y\geq X)P(Y\geq X)\\ =P(X>Y)P(X>s)+P(Y\geq X)P(Y>s)\\ =P(X>Y)e^{-as}+P(Y\geq X)e^{-bs}. $$ Queda por encontrar $P(X>Y)$ . Mira eso: $$ P(X>y|Y=y)=e^{-ay}\implies P(X>Y)=E(e^{-aY})=\int_{0}^\infty be^{-by}e^{-ay}\mathrm dy=\frac b{a+b}, $$ por lo tanto,

$$ P(|X-Y|>s)=\frac{a}{a+b}e^{-bs}+\frac b{a+b}e^{-as}. $$