Me encontré con una pregunta de opción múltiple:
La ODE $$-y^{\prime \prime}+(1+x) y=\lambda y, x \in(0,1), y(0)=y(1)=0$$ tiene una solución distinta de cero
(1) $\forall \lambda \in[0,1]$
(2) $\forall \lambda<0$
(3) para algunos $\lambda \in[2, \infty)$
(4) para un número contable de $\lambda^{\prime} s$
Las opciones 1 y 2 pueden rechazarse, ya que para cualquier $\lambda<1$ tenemos $Q(x)=\lambda-(1+x)<0$ lo que no es posible ya que $y$ ya tiene dos ceros en [0,1]. He visto varias respuestas sobre la misma pregunta en esta plataforma, pero ninguna de ellas me convence de la existencia de soluciones no triviales para $\lambda \geq 2$ .
Podemos tener algunas condiciones especiales de regularidad para un problema de valor límite lineal de segundo orden: $$y''+Q(x)y=0,y(a)=y_1,y(b)=y_2$$ para tener una solución no trivial?
La misma dificultad de existencia de soluciones no triviales la he encontrado con la 2ª y 4ª opción en otra pregunta tipo test:
Consideremos el problema de valores propios $$\left(\left(1+x^{4}\right) y^{\prime}\right)^{\prime}+\lambda y=0, x \in(0,1), y(0)=0, y(1)+2 y^{\prime}(1)=0.$$ Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
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todos los valores propios son negativos
-
todos los valores propios son positivos
-
existen algunos valores propios negativos y algunos valores propios positivos
-
no hay valores propios
Dado que un problema SLP regular no puede tener valores propios negativos, podemos rechazar 1 y 3. También para $\lambda=0,$ Tengo $y=0$ sólo es solución mediante algunas alteraciones en las condiciones de contorno para obtener un PIV:
$$(1+x^4)y''+4x^3y'=0, y(0)=0,y'(0)=-y(1),$$