Sobre la existencia de una solución no trivial para un problema lineal de valor límite de segundo orden

Question

Me encontré con una pregunta de opción múltiple:

La ODE $$-y^{\prime \prime}+(1+x) y=\lambda y, x \in(0,1), y(0)=y(1)=0$$ tiene una solución distinta de cero

(1) $\forall \lambda \in[0,1]$

(2) $\forall \lambda<0$

(3) para algunos $\lambda \in[2, \infty)$

(4) para un número contable de $\lambda^{\prime} s$

Las opciones 1 y 2 pueden rechazarse, ya que para cualquier $\lambda<1$ tenemos $Q(x)=\lambda-(1+x)<0$ lo que no es posible ya que $y$ ya tiene dos ceros en [0,1]. He visto varias respuestas sobre la misma pregunta en esta plataforma, pero ninguna de ellas me convence de la existencia de soluciones no triviales para $\lambda \geq 2$ .

Podemos tener algunas condiciones especiales de regularidad para un problema de valor límite lineal de segundo orden: $$y''+Q(x)y=0,y(a)=y_1,y(b)=y_2$$ para tener una solución no trivial?

La misma dificultad de existencia de soluciones no triviales la he encontrado con la 2ª y 4ª opción en otra pregunta tipo test:

Consideremos el problema de valores propios $$\left(\left(1+x^{4}\right) y^{\prime}\right)^{\prime}+\lambda y=0, x \in(0,1), y(0)=0, y(1)+2 y^{\prime}(1)=0.$$ Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

1. todos los valores propios son negativos

2. todos los valores propios son positivos

3. existen algunos valores propios negativos y algunos valores propios positivos

4. no hay valores propios

Dado que un problema SLP regular no puede tener valores propios negativos, podemos rechazar 1 y 3. También para $\lambda=0,$ Tengo $y=0$ sólo es solución mediante algunas alteraciones en las condiciones de contorno para obtener un PIV:

$$(1+x^4)y''+4x^3y'=0, y(0)=0,y'(0)=-y(1),$$

Answer 1

Cualquier solución no trivial del BVP tendrá $y'(0)\ne 0$ (de lo contrario, el IVP da la solución cero). Así, la solución puede escalarse a $y'(0)=1$ .

Denote $y(x;)$ las soluciones del PIV $y''+( -1-x)y=0$ , $y(0)=0$ , $y'(0)=1$ . Encontrar una solución al BVP es equivalente a encontrar una raíz de $y(1;)$ . Se trata de una función continua en $$ . También las raíces de $y(x;)$ dependen continuamente de $$ . Como no puede haber raíces dobles (implicaría solución cero), tampoco habrá puntos de pliegue ni otras singularidades en las trayectorias de las raíces.

Establecer $\omega_n=\pi n$ . Entonces, con el teorema de comparación de Sturm-Picone, y una $,>0$ ,

• si $-1<_n^2$ entonces $y$ tendrá como máximo $n-1$ raíces positivas en $(0,1]$ ,

  • como entre dos raíces cualesquiera de $y$ tiene que haber uno de los $n-1$ raíces de $\sin((n\pi-) (x+\delta))$ . $>0$ se elige con $(n\pi-) (1+\delta)<n\pi$ para que haya raíces justo fuera del intervalo en ambos lados.

• si $-2>_n^2$ entonces $y$ tendrá al menos $n$ raíces positivas en $(0,1]$ ,

  • entre dos de los $(n+1)$ raíces de $\sin((n\pi+)(x-))$ en $(0,1]$ tiene que haber una raíz de $y$ . Aquí $>0$ se elige de forma que $(n\pi+)(1-)>n\pi$ de forma que las dos raíces cercanas a los límites del intervalo se encuentren justo dentro del intervalo.

En la transición de un caso a otro, el $n$ tiene que pasar al intervalo, por lo que en algún momento $\in(_n^2+1,_n^2+2)$ la solución $y$ tendrá una raíz en el límite del intervalo $1$ dando una solución al problema de valores propios. Como hay una solución distinta para cada $n$ el caso (4) es cierto, y obviamente también el caso (3).

Ilustración del caso $n=2$

Las curvas punteadas son las soluciones para el azul: $=(2\pi)^2$ y rojo: $=(2\pi)^2+3$ . Las líneas finas son funciones seno convenientemente desplazadas $\sin((2\pi\pm0.1)(x\mp0.01))$ separando claramente los casos de 1 y 2 raíces positivas.