Dual algebraico de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$

Question

Como en el título, mi pregunta es: ¿Cuál es el espacio algebraico dual de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ - el espacio de todos $\mathbb{R}$ -secuencias valoradas. Creo que debería ser la suma directa $\bigoplus_{\mathbb{N}} \mathbb{R}$ a través de la dualidad natural, pero no puedo probarlo.

Answer 1

No es el dual. Denotemos por $\def\<#1>{\left<#1\right>}\<,> \colon \mathbf R^{\mathbf N} \times (\mathbf R^{\mathbf N})^* \to \mathbf R$ la dualidad. Integramos $\def\s{\mathbf R^{(\mathbf N)}}\s := \bigoplus_{\mathbf N}\mathbf R$ en $(\mathbf R^{\mathbf N})^*$ vía $\def\p{\mathbf R^{\mathbf N}}$ $$\<(a_n), (b_n)> := \sum_n a_n b_n, \quad a \in \p, b \in \s$$ Demostraremos que este mapa no es onto. Sea $c \subseteq \p$ denota el subespacio de secuencias convergentes, y sea $\ell \in (\p)^*$ sea un mapa lineal tal que $\<a,\ell> = \lim a_n$ para todos $a \in c$ . Supongamos que $\ell$ estaban representados por algunos $b \in \s$ . Sea $e^k \in c$ denota la secuencia $(\delta_{kn})_n$ entonces $$\ell(e^k) = \lim_n \delta_{kn} = 0$$ Por lo tanto $$b_k = \<b, e^k> = \ell(e^k) = 0$$ Así que $b =0$ pero $\ell\ne 0$ . Es decir $\ell \in (\p)^* \setminus \s$ .