Por cada $k \in \mathbb{N}$ existe un $q \in \mathbb{R}$ tal que $q^0 = 1$ y $q^k = x$

Question

Sea $x > 1$

Demuéstralo: Para cada $k \in \mathbb{N}$ existe un $q \in \mathbb{R}$ tal que $q^0 = 1$ y $q^k = x$

He considerado una prueba por inducción, pero no creo que funcione. También he pensado que quizá tenga que ver con la Completitud de $\mathbb{R}$ .

Había una nota escrita para la pregunta, para considerar la Partición $P$ tal que $p_{i} = q^i$ pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Sea $x\in\mathbb{R}, x>1$ . Sea $k \in \mathbb{N}$ .

Entonces $f:[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f(z) = z^k$ es un polinomio, así que es continuo.

Claramente $f(0) = 0 < x$ . En $x > 1$ las "raíces" están bien definidas, así que dejemos que $M = \sqrt[k]{x}$ . Entonces $f(M+1) = (M+1)^k > M^k = x$ .

En $f$ es continua en $[0,M+1]$ y $f(0) < x < f(M+1)$ por el teorema del valor intermedio existe $q \in (0, M+1) \subset \mathbb{R}$ tal que $f(q) = q^k = x$ .

Answer 2

Sea $x_0\gt1$ y arreglado. Para todos $k\in\mathbb N$ el número real $q_k=\sqrt[k]{x_0}$ está bien definida. Por lo tanto, para todos $$k\in\mathbb N\text{ there is }q=q_k\in\mathbb R\text { such that } (q_k)^k=x_0$$ (que $q^0=1$ es trivial).

Creo que no es necesario nada más. ¿Me equivoco?