Categorification de estructuras de álgebra

Question

Este podría ser un poco de un suave cuestión.

Tomar una $\mathbb{C}$-lineal de la categoría. Formar el complejo espacio vectorial generado por su objecs modulo exacta de las secuencias. Esta construcción es, hasta donde yo sé, la razón por la $\mathbb{C}$-lineal categorías son considerados como categorified espacios vectoriales.

Ahora ponga una monoidal estructura de la categoría. Esto le da una multiplicación en el espacio vectorial de los de antes, lo que lo convierte en el Grothendieck álgebra de la categoría. Así monoidal estructuras lineales categorías son categorifications de álgebras asociativas. La propiedad de la álgebra de ser asociativa corresponde a la estructura de la asociador en la categoría, como sería de esperar en un categorification.

Como una más de las de calentamiento, un álgebra conmutativa categorifies a un trenzado estructura monoidal. De nuevo la propiedad de conmutatividad es categorified para el trenzado de la estructura de la categoría.

Ahora imagínese a un involutiva álgebra. Este es el extraño bits. Una involución es la estructura en el álgebra. Pero el categorification es una propiedad en la categoría, la existencia de dobles! (El doble de un objeto, se da su involución en el álgebra, y dos dobles para el mismo objeto, siempre son isomorfos, por lo que es bien definidos). ¿Qué está pasando? ¿Por qué es el orden habitual de las cosas, estructura y propiedad invertido? Hay otros ejemplos de este fenómeno?

Comentario: yo estoy mintiendo un poco, la propiedad de la involución a la plaza a la identidad categorifies a un elemento estructural, que es un monoidal natural de transformación de la identidad a la doble doble.

Answer 1

He aquí un simple ejemplo: en el anillo de la teoría, de escoger una base de anillo (como un módulo sobre el suelo anillo conmutativo $k$) es adicional a la estructura. Pero en la categoría de la teoría a veces hay un "distinguido" (por ejemplo, los objetos simples en un abelian categoría), las cuales pasarán a una base después de decategorifying.

Por ejemplo, Hecke álgebras de tener un famoso base llamado la Kazhdan-Lusztig base que se utiliza para definir Kazhdan-Lusztig polinomios, que son importantes en la teoría de la representación. Resulta que esta base puede ser considerado como proveniente de un categorification de Hecke álgebra de operadores que utilizan lo que se llama Soergel bimodules.

Así, la categoría de la teoría a veces se proporciona "la propiedad-como la estructura" (cosas que no se conservan por functors sino que está determinada únicamente por categóricos consideraciones) en una manera que es invisible y sólo se ve como algo extra aleatoria estructura cuando se decategorify. Esta es sin duda una de las principales razones para la atención acerca de categorification: para ver cómo la categoría de teoría sugiere más la estructura de lo que es visible en la decategorified nivel.