¿Por qué necesitamos órdenes de pozos "canónicos"?

Question

(Hice esta pregunta en Math.SE anterior pero no recibí respuesta y por lo tanto la traslado aquí, por favor, ten en cuenta que me doy cuenta de que esta pregunta es probablemente increíblemente ingenua para el teórico de conjuntos experimentado, pero para un forastero parece una pregunta importante que hacer, y por lo tanto la hago. )

Los ordinales de Von-Neumann pueden considerarse como bien-órdenes "canónicos", de hecho todo bien-orden $(W,<)$ tiene un ordinal único que es su "tipo de orden".

Esto plantea la cuestión de por qué se necesita un orden canónico, me parece que toda aplicación de los ordinales puede hacerse utilizando en su lugar un conjunto bien ordenado "suficientemente grande" que esté garantizado por el lema de Hartogs $^{*}$ por ejemplo, en lugar de realizar un proceso transfinito sobre un ordinal, lo realizamos sobre el conjunto "suficientemente grande" bien ordenado $(X, <)$ cuya existencia está garantizada por el lema de Hartogs. Utilizando este método podemos demostrar las primeras aplicaciones básicas de los ordinales como el Lemma de Zorn $^{\dagger}$ (véase, por ejemplo Respuesta de Asaf Karagila a Teoría de conjuntos de Zermelo y lema de Zorn ).

$^{*}$ Para los propósitos de esta pregunta dejemos que el Lemma de Hartogs diga: Para todo conjunto $S$ existe un conjunto bien ordenado $(X, <)$ de forma que no haya ninguna inyección de $X\to S$ .

$^{\dagger}$ Curiosamente, los libros populares de teoría de conjuntos dan exactamente el mismo argumento utilizando ordinales, que son totalmente superfluos (¡y no tienen por qué existir sin reemplazo!).

Observaciones:

• Las observaciones anteriores parecen implicar que el "matemático en activo" puede ignorar totalmente los ordinales, pero me interesa más saber por qué son tan importantes para el matemático en activo. configure -teórico/lógico (dado que son literalmente el "pan de cada día" de un teórico de conjuntos).

• No se trata de una cuestión totalmente inútil que no "afecte a las cosas" en modo alguno, ya que los ordinales $\ge \omega+\omega$ no tiene por qué existir en $\mathsf{ZFC}-\mathsf{Replacement}$ y de hecho el método anterior da una demostración del lema de Zorn en $\mathsf{ZFC}-\mathsf{Replacement}$ . Dado que muchos consideran dudosa la sustitución, esto parece un argumento de peso para no utilizar ordinales. (De acuerdo, sin conjuntos de sustitución de tamaño superior a $\aleph_{\omega}$ no es necesario que existan, pero suponiendo que se sustituyan el método anterior puede construir fácilmente conjuntos tan grandes sin necesidad de ordinales).

• Supongo que se puede hacer una pregunta similar sobre el cardenal números : ¿Por qué necesitamos números cardinales cuando podemos razonar sobre cardinalidades utilizando simplemente inyecciones y biyecciones sobre conjuntos?

• Los ordinales parecen proporcionarnos una "definibilidad uniforme", pero ¿es realmente útil?

Una respuesta que he recibido es "comodidad", pero si la comodidad es el responder ¿por qué necesitamos una noción formal que tarda horas en desarrollarse cuando una noción informal parece suficiente (formalmente)?

Answer 1

No se trata de cualquier elección de un orden bien "canónico", pero los ordinales de von Neumann en particular tienen buenas propiedades que no se obtienen sólo de los órdenes bien. Admiten una definición lógicamente simple que permite ciertos argumentos sobre la complejidad de las definiciones.

Una relación $R$ estar bien fundado es un $\Pi_1$ puede expresarse con un único cuantificador universal no limitado. (Es decir, al decir que cada subconjunto no vacío del dominio tiene un $R$ -elemento mínimo, que "cada" es un cuantificador no limitado). Esto implica que estar bien fundado es un absoluto descendente: si adelgazas tu universo para tener menos conjuntos, entonces $R$ seguirá teniendo fundamento en el universo más delgado. Al fin y al cabo, si cada subconjunto no vacío del dominio tiene un $R$ -elemento mínimo, sigue siendo cierto si descartas algunos de esos subconjuntos.

¿Estar bien fundado hacia arriba es absoluto? Si $R$ está bien fundada, ¿sigue estando bien fundada aunque ampliemos nuestro universo añadiendo nuevos conjuntos? Para ello, nos gustaría $\Sigma_1$ forma de caracterizar la fundamentación, expresada mediante una única existencial cuantificador. Entonces, si el objeto testigo existe sigue existiendo en un universo mayor, por lo que $R$ se mantiene bien fundado.

Un intento de esto es: $R$ está bien fundada si y sólo si existe una función de clasificación $\rho$ del dominio de $R$ a un ordinal. (Es decir, $x \mathbin{R} y$ si $\rho(x) < \rho(y)$ .) Nos gustaría $\rho$ para seguir siendo una función de clasificación en el universo más amplio. Pero el problema es que, si ser un ordinal es sólo $\Pi_1$ ¿cómo podemos saber el codominio de $\rho$ sigue siendo un ordinal en el universo más amplio?

Aquí es donde los ordinales de von Neumann tienen ventaja sobre los simples bien-ordenados. Se puede expresar que $\alpha$ es un ordinal de von Neumann simplemente cuantificando sobre los elementos de $\alpha$ . Esto significa que $\alpha$ sigue siendo un ordinal de von Neumann si se añaden nuevos conjuntos. Así que esto da un $\Sigma_1$ manera de caracterizar la fundamentación, de ahí que sea hacia arriba absoluta. Siendo también absoluto hacia abajo, decimos simplemente que es absoluto.

[Advertencia técnica: Sólo hablo de las llamadas extensiones/submodelos transitivos, en los que ambos universos son conjuntos o clases transitivos. Se puede hablar de otros modelos no estándar, en los que se pueden añadir nuevos elementos a conjuntos antiguos, pero permítanme dejarlos a un lado].

¿Por qué preocuparse por lo absoluto? Si eres un teórico de los conjuntos, esto está claro. Gran parte del trabajo diario de un teórico de conjuntos consiste en moverse de un universo a otro, y uno quiere saber qué propiedades se transmiten de un universo a otro. Pero incluso si no eres un teórico de conjuntos, esto puede ser relevante. Los matemáticos a veces quieren saber si el axioma de elección era necesario para tal o cual teorema. Por ejemplo, quizá conozcas la demostración de Galvin-Glazer del teorema de Hindman usando ultrafiltros idempotentes y quieras saber si realmente necesitas objetos de elección como los ultrafiltros para demostrarlo. Un ejemplo de Teorema absoluto de Shoenfield dice que el teorema de Hindman es realmente demostrable en ZF, por lo que no necesitabas AC todo el tiempo. Aunque un no-lógico puede estar contento de tratar el teorema como una caja negra, si uno profundiza en por qué funciona verá que el carácter absoluto de la fundamentación es clave en la demostración.

Por último, ¿son realmente necesarios los ordinales de von Neumann (o alguna otra buena opción canónica para los bien-ordenados) para este tipo de resultado absoluto? Si nos fijamos en algunos contextos en los que los ordinales de von Neumann no están disponibles, entonces no tenemos que el bien fundado sea absoluto hacia arriba. Por ejemplo, esta respuesta mathoverflow aborda el caso de ZFC - Sustitución.