Probabilidad de error: ¿Canal de comunicación binario?

Question

Tengo un canal de comunicación binario que se muestra a continuación:

con los siguientes parámetros:

• $\pi_0 = 0.3$
• $\pi_1 = 0.7$
• $\epsilon_0 = 0.2$
• $\epsilon_1 = 0.1$

Objetivo: calcular la probabilidad de error y la probabilidad de falsa alarma para la regla de decisión: elegir siempre 0

Empezando: $$P(Error) = P(A_0)P(B_1 | A_0) + P(A_1)P(B_0 | A_1)$$ y del diagrama,

• $P(B_0|A_0) = 1 - .2 = 0.8$
• $P(B_0|A_1) = 0.1$
• $P(B_1 | A_0) = 0.2$
• $P(B_1 | A_1) = 0.9$

para poder calcular las siguientes cantidades:

• $P(B_0) = P(B_0|A_0)P(A_0) + P(B_0|A_1)P(A_1) = (.8)(.3) + (.1)(.7) = .31$
• $P(B_1) = P(B_1|A_1)P(A_1) + P(B_1|A_0)P(A_0) = (.9)(.7) + (.2)(.3) = .69$
• $P(A_0|B_0) = \frac{P(B_0|A_0)P(A_0)}{P(B_0)} = \frac{(.8)(.3)}{.31} = .774$
• $P(A_1|B_1) = \frac{P(B_1|A_1)P(A_1)}{P(B_1)} = \frac{(.9)(.7)}{.69} = .913$

Pregunta: ¿Dónde se aplica la regla de decisión: elegir siempre $0$ entrar en juego? ¿Es la probabilidad de error $.69$ ya que ese es el valor de $P(B_1)$ ? ¿Y si la regla de decisión fuera diferente: por ejemplo, mantener la observación?

Gracias.

Answer 1

Obviamente, la regla de decisión óptima es: elige 1 si recibes 1, y elige 0 si recibes 0, porque $P(A_1|B_1)>P(A_0|B_1)$ y $P(A_0|B_0)>P(A_1|B_0)$ . La pregunta es: ¿qué ocurre si no tiene en cuenta lo que ha recibido y elige siempre 0. En ese caso, la probabilidad de error sería $P(B_0|A_1)P(A_1)$ porque el error sólo se produce cuando se envía 1.