Calcular la probabilidad de que ambos $1$ y $2$ estarán en el mismo ciclo

Question

He resuelto esta tarea pero no estoy seguro de mi solución, ¿puede alguien comprobarlo?

Consideremos el espacio aleatorio de n-permutación aleatoria para $2\le n$ ; Los acontecimientos elementales son $n-$ permutaciones y cada una de ellas tiene probabilidad $\frac{1}{n!}$ . Calcular la probabilidad de que ambos $1$ a $2$ estarán en el mismo ciclo.

$$P(\mathbb A) = \frac{\sum_{k}^{n-2} \binom{n-2}{k}\cdot (k+1)! \cdot (n-2-k)!}{n!}$$ Elegimos $k$ elementos para completar nuestro ciclo, permutarlos (con precisión para desplazarlos) , y otros elementos simplemente permutarlos. Me da resultado $$ \frac{n}{2(n-2)} $$

Answer 1

Tu primera fórmula tiene buena pinta (suponiendo que la suma parta de $k=0$ ), pero la simplificación no es correcta, y para $n=3$ da una "probabilidad" de $1.5$ .

Su fórmula en realidad se simplifica a $$\frac{\sum_{k=0}^{n-2}(n-2)!(k+1)}{n!}=\frac{\sum_{k=0}^{n-2}(k+1)}{n(n-1)},$$ lo que da $1/2$ .

Hay una forma más fácil de verlo. Seleccione $f(1)$ al azar, entonces $f(f(1))$ (aleatoriamente a partir de números no elegidos hasta el momento), y así sucesivamente, hasta que acierte $1$ o $2$ . Si pulsa $2$ antes de $1$ entonces estarán en el mismo ciclo, de lo contrario estarán en ciclos diferentes. Pero $1$ y $2$ tienen la misma probabilidad de ser elegidos en cada paso.