¿Grupo de isometrías de espacios de Banach un grupo topológico?

Question

Sea $X$ sea un espacio de Banach y sea $\mathrm{Iso}(X)$ sea su grupo de isometrías, es decir, el conjunto de mapas lineales suryectivos $T: X \to X$ con $\|Tx\| = \|x\|$ .

P: ¿Es $\mathrm{Iso}(X)$ un grupo topológico bajo la topología fuerte?

Mientras que es fácil demostrar que la multiplicación es continua, no me queda claro cómo demostrar que la inversión es continua. No he encontrado ninguna referencia en la bibliografía para esta afirmación.

Si $X = H$ es un espacio de Hilbert separable, entonces $\mathrm{Iso(X)} = \mathrm{U}(H)$ el grupo unitario de $H$ y la afirmación de que se trata de un grupo topológico está bien establecida. Sin embargo, la prueba (que yo sepa) utiliza el hecho de que la topología débil y fuerte de operadores coinciden en $\mathrm{U}(H)$ y que la inversa viene dada por $u \mapsto u^*$ que es continua en la topología débil del operador.

Answer 1

Que la inversa es continua para la topología fuerte en realidad sería cierto para cualquier delimitado subgrupo de $GL(X)$ los operadores invertibles en $X$ .

En primer lugar, como la traslación es continua, basta con considerar la continuidad en la identidad.

Ahora dejemos que $(T_i)$ ser un delimitado neto de invertibles que convergen fuertemente a $I$ y con $(T_i^{-1})$ también acotado, digamos un límite común de $K$ . Entonces, para $x\in X$ , $$ \|T_i^{-1}(x) - x\| = \|T_i^{-1}(x - T_i(x))\| \leq K \|x-T_i(x)\| \rightarrow 0 $$ suponiendo que $T_i\rightarrow I$ fuertemente. Así también $T_i^{-1}\rightarrow I$ fuertemente.