Supongamos que $f,g\in k[x]$ y $(f)=(g)$ . ¿Es cierto que $\deg(f) = \deg(g)$ ? ¿Y a la inversa?

Question

Sea $\deg(f)=m$ , $\deg(g)=n$ . Supongamos que $m>n$ . Además, tenemos $f(x)p(x)=g(x)$ para algunos $p(x)\in k[x]$ .

$\deg(g)=\deg(f)+\deg(p)\implies n=m+\deg(p)\implies \deg(p)=n-m<0$ . Contradicción, porque el grado de un polinomio no puede ser negativo por definición. Por lo tanto, $m=n.$

Ahora, ¿conversar? Supongamos $f(x)=x^3$ y $g(x)=x^3+x^2+x+1$ si $f$ genera $g$ entonces $g=fp$ para algunos $p \in k[x]$ lo que significa que $f$ divide $g$ . Vamos a comprobarlo. $$x^3+x^2+x+1=(x^3)(1) + (x^2+x+1)$$ $$(x^3)=(x^2+x+1)(x)+(-x^2-x)$$ $$(x^2+x+1)=(-x^2-x)(-1) + 1$$ Por lo tanto, son relativamente primos, lo que contradice $g=fp$ .

¿Qué te parece?

Answer 1

Considera los ideales $(x)$ y $(x+1)$ ,

claramente $x+1$ no pertenece a $(x)$ como $0$ es una raíz de cada elemento de $(x)$ . De ahí una contradicción.

Tu ejemplo también funciona bien.

Answer 2

Para el contraejemplo se puede considerar $x^2$ y $x^2-3$ en $\mathbb{Q}[x]$ los ideales que generan no son los mismos porque $(x^2)$ no es primo, mientras que $(x^2-3)$ es máxima. Pero $(x)$ y $(x-1)$ también son buenos.

Para la otra dirección: supongamos $(f)=(g)$ Entonces $g(x)=p(x)f(x)$ y $f(x)=q(x)g(x)$ por lo que, en particular $$ f(x)=p(x)q(x)f(x) $$ y por lo tanto $$ f(x)(1-p(x)q(x))=0 $$ Si encuentra $p(x)$ y $q(x)$ tal que $p(x)q(x)=1$ entonces seguramente $f(x)$ y $p(x)f(x)$ generan el mismo ideal.

Ahora, dejemos que el anillo de coeficientes $R$ sea $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ . Entonces el polinomio $1+2x$ tiene la propiedad de que $(1+2x)^2=1+4x+4x^2=1$ . Así, por ejemplo, los polinomios $x$ y $x(1+2x)=x+2x^2$ generan el mismo ideal pero sus grados difieren.

Esto no ocurre si el anillo de coeficientes es un dominio. En efecto, en este caso, el grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. Así, a partir de $$ \deg g=\deg p+\deg f\qquad \deg f=\deg q+\deg g $$ obtenemos $\deg p+\deg q=0$ y por lo tanto $\deg p=\deg q=0$ . El caso especial cuando $g$ es el polinomio cero es fácil de manejar.

Answer 3

Lo contrario es erróneo. Para ello, consideremos los ideales $(x)$ y $(x-1)$ . La prueba de igualdad de ideales puede realizarse utilizando las bases de Groebner. Utilice la prueba de pertenencia y la prueba de inclusión en ambos sentidos.