el espectro de una matriz

Question

Si $A$ es un $n \times n$ matriz nilpotente demostrar que $I-A$ es invertible entonces hallar el espectro de I-A ?

para la primera parte he demostrado que $I-A$ es invertible hallando su inversa utilizando que $A$ es un nilpotente. Mi problema está en la siguiente parte, ¿alguien me ayuda por favor?

Answer 1

Sin utilizar el teorema de Cayely-Hamilton:

Para todos $\lambda\ne0$ vemos que $\frac1\lambda A$ también es nilpotente, por lo que la matriz $I-\frac1\lambda A$ es invertible, por lo que $$\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\ne0$$ por lo tanto para todo $\lambda\ne0$ , $\lambda$ no es un valor propio de $A$ pero como $\operatorname{sp}(A)\ne\emptyset$ entonces $0$ es el único valor propio de $A$ .

Edita: Para hallar los valores propios de $I-A$ : $$\chi_{A-I}(\lambda)=\det(\lambda I-(I-A))=\det((\lambda-1)I+A)=(-1)^n\chi_A(1-\lambda)$$ y puesto que $0$ es la única raíz de $\chi_A$ entonces $1$ es la única raíz de $\chi_{A-I}$ .

Answer 2

Pista: Sea $(0,v)$ sea un par propio de $A$ . Demostrar que $(1,v)$ es un par propio de $I-A$ .