Coloreado de dominios complejos frente a coloreado de rangos complejos (sobre la salida): ¿cuál aporta más información?

Question

Actualmente estoy aprendiendo a hacer visualizaciones de coloreado de dominios . Básicamente, como dice Wikipedia:

La coloración de dominios es una técnica para visualizar funciones de una variable compleja. de una variable compleja ...Ya se utilizaron muchos colores para visualizar funciones complejas, normalmente asignando argumento (fase) a tono.

Así que básicamente he aprendido cómo hacer el mapa de tonalidad básica cuando tenemos una función inyectiva compleja $f(z)$ . Estos son algunos ejemplos sencillos:

Primera fila de izquierda a derecha: $(1)\ f(z)=\frac{1}{z}\ ,\ (2)\ f(z)=\frac{(z^2-1)(z-2-i)^2}{z^2+2+2i}\ ,\ (3)\ f(z)=z^3+1 $

Segunda fila de izquierda a derecha: $(4)\ f(z)=z^5-1\ ,\ (5)\ f(z)=e^z$ .

Son las asignaciones que estamos acostumbrados a ver. Pero para mi sorpresa, luego probé un modo "inverso", en vez de mapear sobre las posiciones de los puntos complejos de entrada (el dominio de la función), mapeaba los puntos de salida con la conversión a matiz de los puntos de entrada originales, una especie de "Range coloring" o "Image coloring" o "mapa de coloreado sobre el resultado" de la función, los resultados también fueron muy impresionantes. Son la otra cara de la moneda de la relación entre el Dominio y la Imagen/Rango de la función:

Aquí tienes un zoom del segundo ejemplo:

Así que mi punto es: Puedo entender que visualizar la Imagen/Rango/salida de la función en la posición de los puntos originales del Dominio como colores "matiz/brillo/saturación" proporciona información interesante sobre la ubicación de la salida de la función; pero, ¿por qué el coloreado de Rango o Imagen no es tan popular como el coloreado directo de Dominio? o ¿por qué no se tratan como complementarios entre sí?

Así que las preguntas que me gustaría compartir son:

1. ¿Por qué el coloreado por Rango/Imagen no es tan popular como la técnica de coloreado por Dominio?

2. ¿Qué tipo de información complementaria podemos encontrar en la coloración Rango/Imagen que no podríamos encontrar o entender visualizando un patrón de coloración Dominio?

3. ¿Existen documentos relativos a este tipo de visualización alternativa?

Creo que en términos de coloración de dominios complejos todavía hay cosas por explotar y estamos viendo sólo una cara de la moneda todavía. Y la otra cara parece bastante interesante.

(Si alguien quiere una copia del código Python utilizado para hacer los ejemplos, que me lo haga saber y lo añadiré a la pregunta)

Answer 1

Sólo para poder cerrar la pregunta, recojo los amables comentarios hechos por Chris Culter y reuns. Creo que aportan puntos de vista muy valiosos (escritos en el mismo orden temporal en que fueron escritos):

Créditos a Chris Culter:

No es una respuesta, sino una observación: Si pensamos en una imagen como un mapa de una superficie a un espacio de color, entonces el mapa "argumento complejo a tono RGB" es una función $h:\Bbb C \to {[0,1]}^3$ . Ahora bien, dada una función $f:\Bbb C_d \to \Bbb C_r$ la única manera de componer $f$ y $h$ es tomar $h∘f:C_d \to {[0,1]}^3$ que es el método de coloreado de dominios. En la medida en que esta es la forma preferida de pensar sobre las imágenes, el coloreado de dominios parece más natural.

Créditos de las reuniones:

Tome una función $\varphi: \Bbb C \to RGB={[0,1]}^3$ . En un caso estás trazando $(x,y) \to \varphi (f(x+iy))$ . En el otro caso está trazando $(x,y) \to \varphi(f−1(x+iy))$ . Prueba con $f(z)=e^z$ para ver por qué el hecho $f^{−1}$ no es globalmente analítica significa que tendrás algunos problemas para trazarla de forma satisfactoria. Localmente (si $f′(a)≠0$ ) entonces $f{−1}$ no es más que una función analítica, exactamente igual que $f$ .