Para un conjunto Vitali $V$ ¿puede el conjunto $V+V$ ¿se puede medir?

Question

Tengo cierta curiosidad de que para un conjunto Vitali $V$ , si el conjunto $V+V$ es medible o no. Heurísticamente, creo que no hay razón para que sea mensurable.

Traté de expresar cada elemento como la suma de representive y número racional, pero este método falla, ya que depende de la función de elección.. ¿Hay alguna idea para obtener una respuesta inteligente? ¿O esto es indecidible en los axiomas estándar de ZFC?

Answer 1

Es posible tener un conjunto Vitali $V\subset[0,1]$ tal que $V+V$ contiene todo $(0,2)$ y, por tanto, es medible. Para ello, enumere $(0,2)$ como $(x_\alpha)_{\alpha<\mathfrak{c}}$ . A continuación, podemos elegir recursivamente $a_\alpha,b_\alpha\in[0,1]$ tal que $a_\alpha+b_\alpha=x_\alpha$ y no dos de los $a_\alpha$ y $b_\alpha$ tienen diferencia racional (de modo que el conjunto $\{a_\alpha,b_\alpha:\alpha<\mathfrak{c}\}$ puede completarse con un conjunto Vitali). Para ello, basta con tener en cuenta que hay $\mathfrak{c}$ pares diferentes $(a,b)\in[0,1]^2$ tal que $a+b=x_\alpha$ y menos de $\mathfrak{c}$ tienen $a$ o $b$ tal que $a-b$ es racional o $a$ o $b$ difiere de cualquier $a_\beta$ o $b_\beta$ para $\beta<\alpha$ por un número racional. Por lo tanto, siempre es posible elegir $(a,b)$ ser $a_\alpha$ y $b_\alpha$ para no formar diferencias racionales.

Por otra parte, como ha señalado Wojowu en un comentario, también se puede tener un conjunto Vitali tal que $V+V$ no se puede medir. Por ejemplo, podría tener $1\in V$ pero cualquier otro elemento de $V$ está en $[0,1/2]$ . Entonces $(V+V)\cap[1,2]=V+1$ no es medible, por lo que $V+V$ no se puede medir.