¿Cuál es la cantidad más fundamental? El campo electromagnético $F$ o el potencial $A$ ?

Question

Leí en alguna parte que el potencial es una cantidad más fundamental que el campo EM porque si este último es más fundamental entonces la transformación gauge se reducirá a nada más que un truco matemático. Yo lo veo de otra manera. Por favor, indíqueme si mi suposición es correcta o incorrecta. Puesto que el principio de acción es el más fundamental de todos, cualquier cosa que esté implicada en él tiene que ser más fundamental. El potencial 4 está implicado en la integral de acción en el término que describe la interacción de la partícula y el campo. Entonces, ¿no lo hace en ese sentido más fundamental? Después de todo el propio tensor de campo EM se construye a partir del término potencial en el EOM.

Answer 1

Independientemente de la Mecánica Cuántica, si crees en el método variacional, entonces la $A$ campo es más fundamental que el $\vec{E}, \vec{B}$ ya que la Lagrangiana no puede dar las ecuaciones de Maxwell sin el 4-potencial. Necesitas los potenciales para hacer una variación de los campos que te dará sus ecuaciones de movimiento (es decir, las ecuaciones de Maxwell).

Además, incluso a nivel clásico, la Mecánica Estadística necesita un Hamiltoniano, que pregunta por los potenciales. Cómo haríamos Mecánica Estadística Clásica sin los potenciales electromagnéticos?

Answer 2

No existe una definición de "más fundamental", por lo que no hay una respuesta inequívocamente correcta.

Observo que la mayoría de las respuestas han optado, no obstante, por los potenciales frente a los campos. Pero hay que tener en cuenta que esto se debe en parte a la sensación de que los lagrangianos ofrecen el camino real hacia la física. Así que depende un poco de cómo le guste a uno construir su teoría de campos en primer lugar. No es necesario partir de un lagrangiano.

Se comentó acertadamente que el efecto Aharonov-Bohm es en sí mismo un efecto invariante gauge, por lo que este efecto no hace por sí mismo un caso evidente de que el potencial está "ahí" tan directamente como los campos están "ahí" (es decir, que se manifiestan actuando como causa de efectos físicos). La integral de línea distinta de cero de $\bf A$ requiere que haya un $\bf B$ en alguna parte. (La situación es comparable a la del transporte paralelo en la superficie de un cono: por todas partes (evitando el vértice) es plano, pero hay una rotación neta si la trayectoria rodea el vértice, y esto sólo ocurre si se tiene un vértice que rodear, es decir, un cono y no un cilindro). Del mismo modo, la $\bf B$ campo tiene que estar ahí para el efecto AB).

Así que no tengo respuesta a "cuál es más fundamental", pero se puede decir que los potenciales se hacen "sentir" a través de sus gradientes (div y curl) y esto los hace elusivos.

Answer 3

Que el potencial vectorial A del campo electromagnético no es sólo un truco matemático y tiene algún significado físico ha sido demostrado experimentalmente por el efecto Aharonov-Bohm. Antes se pensaba que el potencial vectorial era una conveniencia matemática para derivar los campos eléctrico y magnético.

Answer 4

Creo que queda claro que la $4$ -el potencial es la cantidad más fundamental cuando se contempla la cuestión desde una perspectiva geométrica. Se puede decir que $A$ es un $\mathfrak{u}(1)$ -valor de conexión de una forma, $^\dagger$ y en este caso, $F=dA$ tiene la interpretación de la curvatura; al fin y al cabo es un conmutador de derivadas.

Esta visión de $F$ como curvatura es aún más evidente cuando se examinan las anomalías gauge que resultan ser proporcionales a las clases de Chern que implican $F$ y la clase de Chern del haz tangente de una variedad es, en efecto, en términos de la dos-forma de curvatura.

Análogamente en la RG, se piensa en la métrica $g_{ab}$ como más fundamental que cualquiera de los tensores de curvatura que uno pueda derivar de él; después de todo uno no diría $R_{ab}$ es más fundamental.

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$\dagger$ Al ser más preciso que la mayoría de los manuales de física, el $A$ con el que trabajas en física es en realidad el retroceso de la conexión por una sección.

Answer 5

El potencial vectorial es necesario para describir la QED. Podrías preguntarte si puedes salirte con la tuya escribiendo tu teoría sólo en términos del tensor trivialmente invariante gauge $F_{\mu\nu}$ . El problema con eso es que los fotones son partículas de espín uno, y no sé de una manera de cuantificar $F_{\mu\nu}$ que hace que sólo se propaguen los grados de libertad del espín 1. Por otro lado no es (demasiado) difícil hacer una teoría de partículas de espín uno a partir de un campo vectorial $A_\mu$ .

Como otra complicación, si $F_{\mu\nu}$ es aniquilar partículas asintóticamente libres, entonces debe tener dimensión 2, y por tanto no tiene acoplamientos renormalizables con fermiones, lo que haría problemática la escritura de cualquier QFT sensata.