¿Existe un enfoque ring stacky para $\ell$ -ádica o cohomología rígida?

Question

Desde el artículo de Simpson [Sim], se observó que muchas teorías cohomológicas diferentes surgen de la siguiente manera: comenzamos con nuestro espacio $X$ le asociamos una pila $X_\text{stk}$ (que depende de la teoría cohomológica elegida), y luego la cohomología de $X$ coincide con la cohomología cuasi-coherente de $X_\text{stk}$ .

Tenemos aún más. Muy a menudo las teorías de cohomología provienen de un formalismo de seis funtores $D(X)$ y a menudo tenemos que $D(X)=D_\text{qc}(X_\text{stk})$ .

Que yo sepa, esto es conocido por: (A menudo hay muchas referencias que hablan de esto, he puesto la primera que me ha venido a la mente sólo para ayudar al lector a encontrar algo al respecto).

• cohomología de Rham; [GR] (También podemos recuperar la filtración de Hodge subyacente. [Bh §2.3])
• Cohomología cristalina; [RG]
• Cohomología prismática; [Bh]
• Cohomología sintómica; [Bh]
• cohomología de Dolbeault; [Sim2]
• cohomología de Betti; [PS]
• cohomología de Deligne (creo); [PS]

Las ausencias más notables de esta lista parecen ser étale / $\ell$ -y cohomología rígida. ¿Existe también un enfoque stacky para estas teorías de cohomología?

Referencias:

[Sim] C. Simpson - Homotopía sobre los números complejos y cohomología generalizada de De Rham

[Sim2] C. Simpson - La filtración de Hodge en la cohomología no abeliana

[Bh] B. Bhatt - Prismático $F$ -Medidores

[GR] D. Gaitsgory, N. Rozenblyum - Cristales y módulos D

[RG] R. Gregoric - El espacio cristalino y la finalización del poder dividido

[PS] M. Porta, F. Sala - Formas de esquemas y pilas de Simpson

Answer 1

Es una pregunta interesante.

En primer lugar, creo que la referencia [PS] no da la pila Betti "correcta". En mis notas sobre 6 functores, defino una pila diferente $X_B$ tal que $D_{\mathrm{qc}}(X_B)$ es equivalente a (la versión completada a la izquierda de) $D(X,\mathbb Z)$ para cualquier espacio de Hausdorff localmente compacto $X$ . Representa el functor que toma cualquier esquema $S$ a las funciones continuas de $|S|$ a $X$ . La referencia [PS] sólo sería capaz de ver las laminillas localmente constantes en $X$ en su lugar, y está pasando efectivamente al tipo de homotopía en su lugar.

A grandes rasgos, un prerrequisito para una aproximación stacky a alguna teoría cohomológica es que esta teoría cohomológica satisfaga una fórmula categórica de Künneth: $D(X)\otimes_{D(\ast)} D(Y)\cong D(X\times Y)$ . Por lo menos, $X\mapsto X_B,X_{\mathrm{dR}}$ etc. conmutan con límites finitos (y creo que esto debería ser siempre cierto para tales pilas), y el functor $X\mapsto D_{\mathrm{qc}}(X)$ a menudo lleva los productos de fibra a productos tensoriales (de estable presentable $\infty$ -categorías). Esto último puede fallar un poco en general, pero al menos debería estar "cerca" de ser cierto. Por ejemplo, para los espacios de Hausdorff localmente compactos es cierto al menos para los de dimensión finita.

Para $\ell$ -la fórmula categórica de Künneth falla gravemente. Por lo tanto, no se puede esperar realmente una aproximación apilada. Sin embargo, uno puede (y yo lo hago) esperar un apilamiento $X_{\ell,n}$ tal que $D_{\mathrm{et}}(X,\mathbb Z/\ell^n)$ se integra con total fidelidad en $D_{\mathrm{qc}}(X_{\ell,n})$ .

De hecho, si se asume que $X$ sobrevive $\mathbb Q_\ell$ y se permiten pilas en casi esquemas, entonces tal cosa ha sido definida (implícitamente) a través del trabajo de Lucas Mann sobre $p$ (= $\ell$ )-adic 6 functores.

Así que más de $\mathbb Q_\ell$ existe, pero no se como bajarlo a $\mathbb Q$ .

Edito: Y para la cohomología rígida, expliqué una construcción de una pila así en mi curso, espero actualizar algún día los apuntes para incluirla.