Aproximación de elementos en progresiones aritméticas por los logaritmos de los números enteros

Question

Fijo $a,b,c \in \mathbb{R}$$ac \neq 0$, a mí me parece que uno puede encontrar un aumento de la secuencia de enteros $\{\alpha_n\}$ de manera tal que la cantidad de $c \log \alpha_n$ se convierte arbitrariamente cerca de los elementos de

$$ A = \{ ak+b \,\colon k \in \mathbb{Z} \}. $$

En primer lugar, ¿es esto cierto? Si es así, mi pregunta es: ¿qué tan buena es la aproximación?

Por ejemplo, dados cualesquiera $\epsilon > 0$, es posible encontrar infinitamente muchos enteros $n$ tal que, para algunas constantes $C$,

$$ \textrm{dist}(c \log n,A) := \inf_{k \in \mathbb{Z}} |c \log n - ak-b| \leq n C^{-\epsilon}? $$

¿

$$ \textrm{dist}(c \log n,A) \leq C e^{-n}? $$

Yo también estoy interesado en los resultados que se podría decir algo como "Hay en la mayoría de los finitely-muchos de los $n$ satisfactorio

$$ \textrm{dist}(c \log n,A) \leq C e^{n^2} $$

para cualquier constante positiva $C$" para ilustrar el "mejor posible" la naturaleza de una forma menos restrictiva obligado.

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La motivación

Estoy tratando de determinar el comportamiento de una cantidad como

$$ \left|\left(1-e^{i c \log n}\right)g(n)\right|^{1/n}, $$

donde $g(n)$ es de buen comportamiento. Hasta ahora sólo he sido la exclusión de toda la $n$ que $1-e^{i c \log n}$ se encuentra en algunas pequeñas fijo barrio de el origen, pero al hacerlo pierdo infinitamente muchos $n$.

Si, por ejemplo, resulta que, por alguna constante positiva $C$, sólo hay finitely-muchos de los $n$ satisfactorio

$$ \left| 1-e^{i(\theta + c \log n)} \right| \leq n C^{-1-\epsilon} \etiqueta{1} $$

para cualquier $\epsilon > 0$, entonces todos pero finitely-muchos de los $n$ satisfacer

$$ C n^{-1} \leq \left| 1-e^{i(\theta + c \log n)} \right| \leq 2. $$

En ese caso se podría excluir a la mayoría de los finitely-muchos de los $n$ a obtener la propiedad deseable

$$ \left| 1-e^{i(\theta + c \log n)} \right|^{1/n} \a 1 $$

como $n \to \infty$.

Ahora, si nos vamos a

$$ B = \{2\pi k - \theta \,\colon k \in \mathbb{Z}\}, $$

entonces la ecuación de $(1)$ es equivalente a la existencia de una constante positiva $C_1$, de forma que sólo finitely-muchos de los $n$ satisfacer

$$ \textrm{dist}(c \log n,B) \leq C_1 n^{-1-\epsilon} $$

para cualquier $\epsilon > 0$.

Answer 1

PARTE I

Podemos resolver este problema mediante la construcción de dicha secuencia. Primero simplificamos nuestros términos. Así, dividimos ambos términos por la cantidad de $c$ y dejar que los nuevos términos se $\log\alpha_{n}$$a'k+b'$.

Por lo tanto, ahora el problema es encontrar una secuencia $\{\alpha_{n}\}$ tal que

\begin{equation} \log(\alpha_{n+1}) - (a'k_{n+1}+b') < \log(\alpha_{n}) - (a'k_{n}+b') \end{equation}

Yo digo que la siguiente es una secuencia de \begin{equation} \alpha_{n} = \lceil {e^{a'n+b'}} \rceil \end{equation}

PRUEBA \begin{equation} \alpha_{n} - {e^{a'n+b'}} \leq 1 \end{equation}

Por lo tanto, \begin{align} &\log(\alpha_{n}) - (a'n+b') \\ &= \log\left(\frac{\alpha_{n}}{e^{a'n+b'}}\right) \\ &\leq \log\left(\frac{e^{a'n+b'} + 1}{e^{a'n+b'}}\right) \\ &= \log\left(1 + \frac{1}{e^{a'n+b'}}\right) \end{align}

Ahora, \begin{align} \log\left(1 + \frac{1}{e^{a'n+b'}}\right) < \log\left(1 + \frac{1}{e^{a'(n+1)+b'}}\right) \end{align}

Y, por lo tanto, la prueba de la primera parte.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $a = 1$. A continuación,

$$ \text{inf}_{k \in \mathbb{Z}} |c \log n - k - b| $$

en realidad es sólo el cómputo de la distancia en el círculo de la $\mathbb{R}$ modulo 1. Es decir, estamos comparando las partes fraccionarias de $c \log n$$b$, con envolvente. (es decir, 0.9 y 0.1 están separados por una distancia de 0.2)

La declaración de

$$ \text{dist}(c \log n, A) < C n^{-\epsilon} $$

es equivalente a la declaración

$$ b \in (c \log n - C n^{-\epsilon}, c \log n + C n^{-\epsilon}) $$

en el círculo. (recuerde que el intervalo se envuelve alrededor de 0 a 1!)

Cada intervalo tiene una longitud de $\min\{1, 2 C n^{-\epsilon}\}$. Si $\epsilon > 1$, la suma de las longitudes de los intervalos converge para cada $C$.

En particular, esto significa que para cualquier $\delta > 0$ existe alguna $M$ tales que la unión de todos los intervalos de $n>M$ tiene una longitud total de menos de $\delta$.

A partir de esto, podemos concluir que el conjunto de $b$'s para que $\text{dist}(C \log n, A) < C n^{-\epsilon}$ infinitamente a menudo tiene medida 0.

Todavía es posible que tales $b$'s existen, sin embargo. Apuesto a que hay es un fenómeno relacionado con la irracionalidad medida que se aplica aquí, pero ese tema está más allá de mí.

Answer 3

He aquí una más formal de la prueba de la principal argumento presentado en el comentario.

En primer lugar, para hacer las cosas un poco más fácil en nosotros mismos, ya que $|ak+b-c\ln n|=c\cdot|a'k+b'-\ln n|$ donde$a'=a/c$$b'=b/c$, podemos recoger $c=1$ sin pérdida de generalidad. En segundo lugar, podemos suponer que las $b$ es el menor número positivo en $A$$a>0$, de modo que sólo estamos preocupados con los números de $ak+b\in A$ no negativos $k$.

Para encontrar $\ln n\approx ak+b$, tomamos $m_k=\lfloor e^{ak+b}\rfloor$. Entonces, tenemos $$\ln m_k \le ak+b < \ln(m_k+1)=\ln m_k+\ln\left(1+\frac{1}{m_k}\right) < \ln m_k+\frac{1}{m_k} $$ así que desde $ak+b$ está dentro de un intervalo de longitud de menos de $1/m_k$, la distancia a cualquiera de los extremos del intervalo, es decir, $\ln m_k$ o $\ln(m_k+1)$, debe ser $\epsilon_k<1/2m_k$. Si dejamos $n_k$ ser $m_k$ o $m_k+1$ dependiendo del logaritmo dio la mejor estimación, obtenemos $\epsilon_k=|ak+b-\ln n_k|<\frac{1}{2(n_k-1)}$.

Así, para cualquier $C>1/2$, tendremos $\epsilon_k<C/n_k$ para todos lo suficientemente grande $k$, proporcionando un número infinito de soluciones.

La segunda afirmación que hice, voy a tener que dar un poco más de pensamiento en cuanto a la formalización, a pesar de que puede dar la idea principal más claramente. De todos modos, creo que estaba mal, como se indica: me gustaría esperar un número infinito de soluciones con $\epsilon<C/nk$, lo que podría traducirse en $\epsilon<C/(n\ln n)$ (diferentes $C$). Yo había mezclado las $k$ $n$ cuando estaba pensando en esto.

Para genéricos $a$$b$, sería de esperar que $ak+b$, situándose en algunos aparentemente aleatorio lugar dentro del intervalo de $[\ln m_k,\ln(m_k+1))$. Si dejamos $l_k=\ln(1+1/m_k)/2$ ser la mitad de la longitud del intervalo, entonces debemos esperar que la distancia $\epsilon_k$ desde el final cierra deben estar distribuidos de manera uniforme en $[1,l_k]$. Dicho de otra forma, es de esperar que el $\epsilon_k/l_k$ estar distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$.

Si tomamos una secuencia $p_k\in(0,1]$, la probabilidad de que $\epsilon_k/l_k<p_k$$p_k$. El número esperado de $k$ que $\epsilon_k<l_kp_k$ luego $\sum_k p_k$. Si dejamos $p_k=1/k$, se espera que el número de soluciones donde $\epsilon_k<l_kp_k<C/(n\ln n)$ es lo infinito, pero por un pequeño margen: $C/[n(\ln n)^{1+\epsilon}]$ debe esperar a que se dé un número finito de soluciones.

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Para obtener una mejor comprensión de la aleatoriedad perspectiva, vamos a reescribir la desigualdad $$ m_k\le\beta\alpha^k<m_k+1 \text{ donde }\alpha=e^a>1, \beta=e^b\ge1 $$ y tenga en cuenta que $\delta_k=\text{Dist}(\beta\alpha^k,\mathbb{Z})\approx\epsilon_km_k$.

Un caso donde la aleatoriedad argumento no es al $\alpha$ es un número natural impar y $\beta=3/2$. Esto hace que $\delta_k=1/2$ todos los $k$. Sospecho numerosos ejemplos similares se pueden hacer para algebraicas $\alpha$.

Me gustaría formular hipótesis, el conjunto de $(\alpha,\beta)$ para las que el número de arbitrariamente pequeño $\epsilon_k$ (o $\delta_k$) es finito debe tiene medida cero.