Cada bijection de $\mathbb{Z}^2$ extender a un homeomorphism de $\mathbb{R}^2$?

Question

Dado un bijection $f\colon \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2$, no siempre existe un homeomorphism $h\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ que está de acuerdo con de $f$ en $\mathbb{Z}^2$?

No veo ningún inmediata obstrucción, pero hay ciertas bijections que parece difícil de extender, tales como $$ f(a,b) \;=\; \begin{casos} (a,b) & \text{si }b\geq 0, \\[3pt] (-a,b) & \text{si }b<0.\end{casos} $$ Tenga en cuenta que es posible asignar cualquier conjunto finito de puntos $p_1,\ldots,p_n$ a cualquier otro conjunto finito de $q_1,\ldots,q_n$ por un homeomorphism de $\mathbb{R}^2$, por lo que es muy importante aquí que $\mathbb{Z}^2$ es infinito.

Por supuesto, uno puede más general pregunte si alguno de los bijection entre subconjuntos discretos de $\mathbb{R}^2$, se extiende a una homeomorphism.

Answer 1

Sí.

Podemos considerar que una secuencia de discos $D_1,D_2,\ldots$ todo $(\sqrt 2,\pi)$ tal que $$n th disco tiene precisamente $n$ entramado de puntos en su interior (y ninguno en su límite). Deje de $z_n$ ser el punto de celosía en $D_n\setminus D_{n-1}$.

Construir en consecuencia una secuencia de $C_1, C_2, \ldots$ de simplemente conectado compacto conjuntos con suave límites tales que $C_{n+1}\setminus C_n$ es un anillo: Nos vamos de $C_1$ a un pequeño disco cerrado alrededor de $f(z_1)$. Dado $C_n$, podemos conectar a $f(z_{n+1})$ con $C_n$ a través de un segmento de línea recta $\ell_n$ que no pase a través de cualquier otro punto de celosía (y termina en su primer cruce con $\partial C_n$. Entonces $C_n\cup \ell_n$ simplemente se conecta, por lo tanto el complemento es la (a través de algunos de mapa $\phi_n$) biholomorphic $\{\z\in\mathbb C:|z|>1\,\}$. Puesto que casi todo el entramado puntos "cercanos" a $f(\infty)=\infty$, la distancia $r_n$ entre $f(\mathbb Z^2\setminus C_n)$ y $S^1$ es estrictamente positivo. Deje de $C_{n+1}=C_n\cup \phi_n^{-1} (\{\z\in\mathbb C:/z/\le 1+\tfrac {r_n}2\,\})$.

Ahora la construcción de la deseada homeomorphism $h$:

• Desde $C_1$ y $D_1$ son los discos, fácilmente podemos definir $h\colon D_1\stackrel \approx \a C_1$
• Supongamos que hemos definido $h\colon D_n\stackrel\approx \a C_n$. Para ampliar esto, sólo tenemos que encontrar una homeomorphism entre el cerrado sus anillos, $D_{n+1}\setminus D^\circ_n$ y $\phi_n(C_{n+1}\setminus C^\circ_n)=\{\z\in\mathbb C:1\le |z|\le 1+\frac{r_n}2\,\}$ que está de acuerdo con lo que ya tenemos como homeomorphis entre el interior de las fronteras. La visualización de ambos conjuntos como $[0,1]\times S^1$, utilizamos la identidad en el primer factor y el homeomorphism entre el interior de los límites en el segundo factor.

El mapa resultante en $\mathbb R^2=\bigcup D_n$ es el deseado homeomorphism si podemos asegurar que $\mathbb R^2=\bigcup C_n$. Ahora mismo no estoy seguro de si la construcción anterior garantiza que este auttomatically. Supongo que uno debe ser más "codiciosos", que no es sólo agregar $\ell$ n a $C_n$ (y luego se dilatan) pero hay que añadir algo más, manteniendo a la conectividad simple en que paso ...

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Basado en Henning Makholm's y Jim Belk's excelentes comentarios, he aquí una reescritura completa de la anterior:

Lema. Deje que $Q\subconjunto \mathbb R^2$ ser contables, cerrado y discreto. Deje de $q_1,q_2,\ldots$ ser una enumeración de $P$. Entonces existe un homeomorphism $h\colon\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ $f(q_n)=(n,0)$ para todo $n\in\mathbb N$.

Prueba. Elegir un punto $$ que se encuentra en ninguno de los countably muchas líneas a través de dos puntos de $P$. A continuación, para cada $n$, el segmento de línea $\ell_n$ de $un$ a $q_n$ es un conjunto compacto disjunta de $Q\setminus\{q_n\}$.

Para $n\in\mathbb N$, $r>0$ let $C(n,r)$ ser el casco convexo de $\overline{B(a;r)}\cup\overline{ B(q_n;r)}$; esta es la unión de dos discos y un rectángulo, su límite se compone de dos arcos y dos segmentos de línea, es en forma de estrella alrededor de $a$, y todos los rayos que se originan en $un$ cruza su frontera en exactamente un punto.

Por $m\in\mathbb N$ vamos $$ i(n,m) = \min\{\,|q_k-y|:k\ge m,k\ne n, y\in \ell_n\,\},$$ que existe y es positiva debido a que $\ell_n$ es compacto y $Q$ (menos de un conjunto finito) es cerrado. Por $0<r<r(n,m)$ tenemos $C(n,r)\cap Q\subseteq\{q_1,\ldots,q_{m-1}\}\cup\{q_n\}$. Claramente $m'>m$ implica $r(n,m')\ge r(n,m)$. También $r(n,m)\to\infty$ $m\to\infty$ porque $r(n,m)>r$ para todo $m$ implica que $C(n,r)$constancio infinitamente muchos de los elementos de $P$, contradiciendo discreto.

Esto nos permite elegir por cada $n$ una secuencia de $\{\rho_{n,m}\}_{m=n}^\infty$, que es estrictamente creciente y divergente $\to\infty$ $m\to\infty$ y $\rho_{n,m}<r(n,m)$ todas $m\ge$n. Ahora vamos a $$ C_n=\bigcup_{k=1}^n C(k,\rho_{k,n}).$$ Entonces $C_n$ es starshaped alrededor de $a$, compacto, tiene un useer-friendly límite que consta de un número finito de arcos y segmentos de línea, y cada rayo originarios en $un$ cruza la frontera en exactamente un punto. Por otra parte, $C_n\subconjunto C_{n+1}^\circ$ y $\bigcup_{n=1}^\infty C_n=\mathbb R^2$. También tenemos $C_n\cap Q=\{q_1,\ldots, q_n\}$ y $\partial C_n\cap Q=\emptyset$. Por interpolación lineal entre los límites de obtener un homeomorphism $h_0\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$ que se asigna a $a\mapsto 0$ y $\partial C_n\nS^1$. Tenga en cuenta que $h_0(q_n)$ entre $(n-1)S^1$ y $nS^1$. Es una tarea sencilla para deformar cada uno de dicho anillo (y el disco central), de tal manera que el límite se mantiene intacto y $f(q_n)$ mueve a $(n-\tfrac12,0)$. Con un final de la traducción por $\frac12$ a la derecha, obtenemos nuestra deseada homoeomorphism. $_\square$

Ahora el problema original se resuelve aplicando el lema a una enumeración de $q_1,q_2,\ldots $ de $\mathbb Z\times Z$ y también a la enumeración de $f(q_1),f(q_2),\ldots$.

Answer 2

He aquí una idea sobre cómo construir una solución para el bijection que usted describe. Parece factible por un diffeomorphism del avión.

Primero vamos a resolver el siguiente problema : extender el bijection \begin{array}{RCL} \phi:\Bbb Z\times\lbrace-1,0\rbrace & \longrightarrow & \Bbb Z\times\lbrace-1,0\rbrace\\ (n,\epsilon) & \longmapsto & \begin{casos} (n,\epsilon) & \text{si }\epsilon=0\\ (-n,\epsilon) & \text{si }\epsilon=-1\end{casos} \end{array} a un diffeomorphism del avión mediante un vector de campo $X$ se define de la siguiente manera: se apoya en el conjunto abierto $$\bigcup_{n\geq 1}~H_n+D_\frac13$$ donde $H_n$ es la mitad inferior del círculo con diámetro el segmento $[(-n,-1),(+n,-1)]$ y $D_\frac13$ es el disco abierto con centro en el origen con radio de $1/3$. Por cada $n\geq 1$, el campo de vectores en el interior de $H_n+D_\frac13$ se elige de manera que los interruptores $(-n,-1)$ con $(+n,-1)$ y viceversa, después de que fluye por un segundo, y, lo importante, es el elegido para que sea cero en una vecindad de cada punto $(n,k)$ con $k\leq -2$. Entonces $\Phi=\mathrm{Fl}^X_1$ extiende $\phi$ a todo el avión.

Ahora, considere el mapa de $\ell:\Bbb R \a\Bbb R^2,(x,y)\mapsto(x,y+1)$. A continuación, el infinito composición

$$\cdots\circ(\ell^{-n} \circ\Phi\circ\ell^n)\circ\cdots\circ(\ell^{-1}\circ\Phi\circ\ell)\circ\Phi$$

EDIT. Para realizar este trabajo debería considerar la infinita compuesta en la dirección opuesta $$\Phi\circ(\ell^{-1}\circ\Phi\circ\ell)\circ\cdots\circ(\ell^{-n} \circ\Phi\circ\ell^n)\circ\cdots$$ Este va a trabajar y proveer un (bien definido este tiempo?!) continua bijection de $\Bbb R^2$ en el mismo, por lo tanto, un homeomorphism por la invariancia de dominio.

tiene sentido, y define un suave diffeomorphism del plano en el que da cuenta de la bijection que usted describe. La razón de esto tiene sentido es que por cada $n\geq 1$ la región $\lbrace(x,y)\in\Bbb R^2\mid y\geq-\frac12\rbrace\copa D((0,-1),n+\frac12)$ es estable, y no el infinito composición es en realidad finita, compuesto de diffeomorphisms, y es suave.

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Creo que algo similar es posible para cualquier bijection de $\Bbb Z^2$, para obtener un diffeomorphism que se extiende se define como un infinito composición de tiempo que uno de los flujos de campos vectoriales cuya apoya tienden a infinito, es decir, se encuentran fuera de la más grande y más grande de las bolas, y por lo tanto, después de un tiempo, no va a hacer nada en un fijo de la bola, yo podría regresar a esta mañana.

Creo que se podría hacer así : en primer lugar, escriba $V_\epsilon(Una)$ $\epsilon$ vecindario de un conjunto $A\subconjunto\Bbb R^2$. Ahora enumerar los elementos de $\Bbb Z^2$ en una espiral de moda por un bijection $\varphi:\Bbb N\a\Bbb Z\times\Bbb Z$. $M_n=\min\lbrace|\phi(n)|,|f(\phi(n))|\rbrace$ y $M_n=\max\lbrace|\phi(n)|,|f(\phi(n))|\rbrace$. Por cada $n$, la construcción de una compacta compatible campo vectorial $X_n$ para que

1. $X_n$ compacta está apoyado con $$\mathrm{supp}(X_n)\subconjunto\lbrace x\in\Bbb R^2\mediados de m_n-1\leq|x|\leq M_n+1\rbrace\setminus V_\frac14\left(\Bbb Z^2\setminus\lbrace\phi(n),f(\phi(n))\rbrace\right)$$
2. El tiempo de un flujo de $\Phi_n=\mathrm{Fl}^{X_n}_1$ de $X_n$ envía $\phi(n)$ $f(\phi(n))$

A continuación, el infinito composición $$\cdots\circ\Phi_n\circ\cdots\circ\Phi_{1}\circ\Phi_{0}$$ tiene sentido y es suave porque en cada disco compacto de lo que realmente es, un determinado compuesto.

Answer 3

Aquí hay otra solución, algo en el mismo espíritu que Olivier Bégassat la respuesta. De hecho, vamos a probar un resultado más fuerte : cualquier bijection $f : \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2$, viene de un suave isotopía $h : \mathbb{R}^2 \times [0,1] \to \mathbb{R}^2$ que $h(x,0) = x$ y $h(-,1) = f : \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2$.

Como en Hagen von Eitzen la respuesta, consideremos primero el punto $O = (\sqrt{2}, \pi$. No es en el entramado de $\mathbb{Z}^2$ $\sqrt{2}$ y $\pi$ son números irracionales. Lo que es más, cualquier círculo centrado en el $O$ y cualquier línea recta a través de la $C$ contiene más de un elemento de la red, ya que $\sqrt{2}$ es algebraica, mientras que $\pi$ es trascendental.

Corregir algunos bijection $l : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}^2$ ; Esto induce a un bijection $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N} : n \mapsto (l^{-1} \circ f \circ l)(n)$. Deje de $C_n$ denotar el círculo centrado en el $O$ que pasa a través de $l(n)$ ; Igualmente, os $L_n$ ser la línea recta se extendió por el segmento $\overline{l(n)S}$. Podemos definir un camino continuo que $\beta_n : [0,1] \to \mathbb{R}^2$ como sigue :

1) $\beta_n : [0, 1/2] \a C_n$ es un buen camino de unirse a $n)$ hasta el punto de intersección de $C_n$ con $L_{g(n)}$.

2) $\beta_n : [1/2, 1] \L_{g(n)}$ es un buen camino de unirse a el punto de intersección de $C_n$ con $L_{g(n)}$ $f(l(n)) = l(g(n))$.

Un suave reparametrization de $\beta_n$ rendimientos de un camino liso $\gamma_n : ([0,1], \{0\}, \{1\}) \para (C_n \copa L_{g(n)}, l(n), f(l(n)))$.

Por construcción, en cualquier momento dado $t$, ninguno de los puntos $\gamma_n(t)$ coincidir. Por otra parte, dado que cada $\mathrm{Im}\, \gamma_n$ es compacto, el conjunto $\{ \gamma_n(t) \,| \, n \in \mathbb{N} \}$ sólo tiene puntos aislados : desde $\mathbb{R}^2$ es un espacio normal, podemos encontrar reccursively una secuencia de positivos reales $\epsilon_n$ tales que en cada tiempo $t$, ninguna de las bolas de $B(\gamma_n(t), \epsilon_n)$ cruzan. Comentario : Estamos implícitamente usando aquí las propiedades de los $C_n$'s y de la $L_n$s'.

El $\gamma_n$'s definir un campo de vectores $V$ en el conjunto $\{ (x,t) \in \mathbb{R}^2 \times [0,1] \, | \, \existe n \in \mathbb{N} \; \mbox{ s.t. } \; x = \gamma_{n}(t) \}$. Más explícitamente, $V_{(\gamma_n(t),t)} = \dot{\gamma_n}(t) + \partial/\parcial t$. Este campo vectorial puede ser fácilmente extendido a un campo de vectores de $X$ en $\mathbb{R}^2 \times [0,1]$ de la forma $\pi^{\ast}Y + \partial/\parcial t$ (donde $\pi : \mathbb{R}^2 \times [0,1] \to \mathbb{R}^2$ es la canónica de proyección y $Y$ es una superficie lisa y no autónomas campo de vectores en $\mathbb{R}^2$), de tal manera que es igual a $\partial/\parcial t$ fuera del conjunto $\{ (x,t) \in \mathbb{R}^2 \times [0,1] \, | \, \existe n \in \mathbb{N} \; \mbox{ s.t. } \; d(x,\gamma_{n}(t)) \le \epsilon_{n} \}$. Definimos la isotopía $h$ como el flujo del campo vectorial $Y$.

Observación : $\mathbb{R}^2$, admite un estándar simpléctica forma $\omega = \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}$ y. En cada punto $p \in \mathbb{R}^2$, este 2-forma define un isomorfismo $\Omega_p : T_p\mathbb{R}^2 \T^{\ast}_p \mathbb{R}^2 : v \mapsto \omega_p(v, -)$. Se puede extender tan lineal 1-forma en una forma constante en $\epsilon$-neighbordhood de $p$ en el fin de obtener un cerrado diferencial 1-la forma en la que este neighbordhood. La aplicación de Poincaré del lema, nos metemos en un pequeño neighbordhood de $p$ una función suave cuyo exterior derivada es igual a la 1-forma. El uso de una adecuada rugosidad de la función, obtenemos global de una función suave de $f_p$ tales que $(\Omega^{-1} \mathrm{d}f_p)_p = v$ apoyo $B(p, \epsilon)$. De hecho, $p \mapsto f_p$ puede ser elegido de una manera suave. Como tal, en cualquier tiempo $t$, podemos definir una función suave de $F_t = \sum_{n=1}^{\infty} \, f_{\gamma_{l(n)}(t)}$ varían suavemente con $t$ tal que $Y_t := \Omega^{-1} \mathrm{d}F_t$ es como el anterior. El resultado isotopía $h_t$ es un Hamiltoniano uno ; llegamos a la conclusión de que $h$ puede ser elegido área de preservación.