¿Cómo puede ser monomodo el espectro del hidrógeno (centrado en la banda de emisión más baja)?

Question

Considera que tienes un átomo de hidrógeno. Este átomo puede emitir luz por emisión espontánea, por ejemplo, pero la luz que emitirá sólo lo hará a unas frecuencias muy concretas: https://en.wikipedia.org/wiki/Emission_spectrum

Tomo un átomo de hidrógeno perfectamente en reposo y observo la luz que emite. Excito el electrón en el nivel inmediatamente posterior al estado de reposo, de modo que puedo concentrarme en el rayo de luz más bajo que puede emitir el hidrógeno, donde llamo el hueco de energía $\hbar \omega_0$ .

La dinámica de la emisión espontánea puede describirse con el siguiente hamiltoniano (modelo de Wigner weisskopf https://www.mpi-hd.mpg.de/personalhomes/palffy/Files/Spontaneous.pdf ):

$$H=\frac{\hbar \omega_0}{2} \sigma_z + \sum_k \hbar \omega_k a_k^{\dagger}a_k + \sum_k g_k \left(a_k \sigma_+ + a_k^{\dagger} \sigma_- \right) $$

Resolviendo la dinámica, se encuentra la evolución por un tiempo $t$ :

$$|e,0\rangle \rightarrow a(t)|e,0\rangle + \sum_k b_k(t) |g,1_k\rangle$$

El proceso de emisión espontánea se entiende así como un entrelazamiento entre el átomo y los múltiples modos del campo. Rastreando el átomo tendríamos un estado mixto en el que intervienen muchas frecuencias del campo y no sólo la frecuencia $\omega_0$ .

Por lo tanto: ¿por qué decimos que el hidrógeno emitiría un fotón a la frecuencia $\omega_0$ ¿sólo? A partir del modelo de emisión espontánea vemos que el estado de la luz después de la emisión no es $|1_{\omega_0}\rangle$ pero en realidad implica muchos modos diferentes.

Mi pregunta es a nivel conceptual, no quiero tener en cuenta el posible efecto doppler que repartiría las frecuencias y daría un continuo en la emisión. Quiero entender por qué "en teoría", en un mundo perfecto, el átomo de hidrógeno emitiría a una única frecuencia

Answer 1

$$|e,0\rangle \rightarrow a(t)|e,0\rangle + \sum_k b_k(t) |g,1_k\rangle$$ El proceso de emisión espontánea se entiende así como un entrelazamiento b Rastreando el átomo tendríamos un estado mixto en el que intervienen muchas frecuencias del campo y no sólo la frecuencia $\omega_0$ .

Hasta ahora tiene razón. Pero la historia continúa. El artículo sobre el modelo de Wigner-Weisskopf que enlazas da en realidad la solución para las amplitudes $a(t)$ y $b_k(t)$ . Los resultados que figuran en la página 3 son

• $|a(t)|^2 = e^{-\Gamma t}$ donde $\Gamma$ es un montón de constantes.
  Esto significa que la probabilidad de que el átomo se encuentre en el estado excitado decae con el tiempo de vida $\tau=1/\Gamma$ .
• para $t \to\infty$ : $\quad$ $|b_k(t)|^2=\frac{|g_k|^2}{\Gamma^2/4+(\omega_k-\omega_0)^2}$ .
  Esto significa que la mayoría de los fotones se encuentran en la gama de frecuencias entre $\omega_0-\Gamma/2$ y $\omega_0+\Gamma/2$ . Se trata del conocido Forma de la línea espectral lorentziana . Es una consecuencia necesaria de la $\tau=1/\Gamma$ arriba. No tiene nada que ver con un ensanchamiento de las líneas espectrales por el efecto Doppler debido a las diferentes velocidades de los átomos.