La topología estándar no coincide con la topología inducida por la métrica p-ádica

Question

Quiero demostrar que la topología estándar en $\Bbb Q$ no coincide con la topología inducida por la métrica p-ádica. Para ello quiero demostrar que para el conjunto abierto $M:= \{x \in \Bbb Q: |x|_p <\frac{1}{p}\}$ no existe ningún conjunto de bolas en la topología estándar con sólo estos elementos. Sé que en $M$ sólo hay elementos divisibles por $p^2$ en el mostrador. Pero ahora estoy atascado....

Answer 1

En $\Bbb Q$ con el $p$ -métrico, $\lim_{n\to\infty}p^n=0$ pero no en $\Bbb Q$ con la métrica habitual.

Answer 2

Para trabajar con su plató $M=\{x \in \mathbb Q: \lvert x\rvert_p < 1/p \}$ veamos que no es abierta con respecto a la topología estándar de $\mathbb Q$ (y eso es lo que tienes que demostrar: como se explica en los comentarios, no basta con demostrar que no es una bola en la métrica estándar).

Bien $0 \in M$ y así para $M$ para ser abierta en la topología estándar, debe haber algún $\varepsilon > 0$ tal que $M$ contiene $(-\varepsilon, \varepsilon) \cap \mathbb Q$ . Pero ahora elige $n$ lo suficientemente grande para que (por ejemplo) $x:= \frac{1}{(p+1)^n} < \varepsilon$ . Entonces $x \in (-\varepsilon, \varepsilon) \cap \mathbb Q$ pero $x \notin M$ contradicción, así que $M$ no está abierta en la topología estándar.