$\int_0^{\infty}e^{-t^2/2}\,\frac{e^{2\pi}-\cos\left(\sqrt{2\pi} t\right)}{e^{4\pi}-2e^{2\pi}\cos\left(\sqrt{2\pi} t\right)+1} dt $

Question

¿Cómo se demuestra $$ \int_0^{\infty} e^{-t^2/2} \left[ \frac{e^{2\pi} - \cos\left(\sqrt{2\pi} t \right)}{e^{4\pi} - 2 e^{2\pi} \cos\left(\sqrt{2\pi} t\right) + 1} \right] dt = \frac{\pi^{1/4}}{4e^\pi\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}-\frac{1}{e^\pi}\sqrt{\frac{\pi}{8}} \,? $$ Esto viene directamente de aquí . La integral está relacionada con una de las funciones theta simuladas de Ramanujan mediante $$ \varphi(e^{-\pi}) =\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}. $$ ¿Cómo demuestro que la integral original está relacionada con esta serie? La única forma posible de hacerlo es mediante la integración de contornos. ¿Hay alguna forma sistemática de reducir la integral a la suma?

En cuanto al resultado explícito: ¿qué referencias puedo consultar para leer más sobre estas funciones? Aún no he encontrado ningún artículo o libro sólido que contenga evaluaciones detalladas de estas funciones y me encantaría encontrar alguno.

Gracias.

Answer 1

Para $|r|<1$ tenemos $$\frac{1-r\cos\phi}{1-2r\cos\phi+r^2}=\frac12\left(\frac{1}{1-re^{i\phi}}+\frac{1}{1-re^{-i\phi}}\right)=\sum_{n=0}^\infty r^n\cos n\phi$$ (lo aplicaremos con $r=e^{-2\pi}$ y $\phi=t\sqrt{2\pi}$ ) y, para $a>0$ (en nuestro caso $a=1/2$ ), $$\int_0^\infty e^{-at^2}\cos bt\,dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-b^2)^n}{(2n)!}\int_0^\infty t^{2n}e^{-at^2}\,dt=\ldots=\sqrt\frac{\pi}{4a}e^{-\frac{b^2}{4a}}.$$ Por lo tanto, la integral dada es igual a $$e^{-2\pi}\sum_{n=0}^\infty e^{-2n\pi}\int_0^\infty e^{-t^2/2}\cos(nt\sqrt{2\pi})\,dt=e^{-\pi}\sqrt{\pi/2}\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}.$$ La suma es $(S-1)/2$ donde $S$ es la suma parece que lo sabes: $$S=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\pi^{1/4}}{\Gamma(3/4)}.$$