Condición de frontera abierta y dinámica de Glauber

Question

Advertencia : por formación es en matemáticas, no en física. Hace poco que he empezado a trabajar con cosas cercanas a la física teórica. Así que tenga en cuenta que

1. Sigo muy confundido con la jerga.
2. Tal vez esté preguntando algo trivial, en cuyo caso, por favor, dame alguna referencia y estaré encantado de leerlas.

Estoy leyendo algunas notas sobre la Dinámica de Glauber para modelos de espín discreto (principalmente material de Martinelli, Olivieri y Schonmann), y estoy sorprendido por el poco espacio que se da a los modelos con "condiciones de contorno abiertas" (que por lo que he entendido es la terminología actual para sin condiciones de contorno).

Googlear la web no me ayudó a entender si esto es una elección de los autores, o hay alguna motivación más estricta más allá.

Supongamos que trabajamos con una red regular (es decir $\mathbb{Z}^d$ ), espacio de espín discreto ( $\{\pm 1\}$ es suficiente), e interacciones de alcance finito ( $H(\sigma) = \sum_{A} J_A(\sigma_A)$ donde la suma se realiza sobre conjuntos finitos $A$ de diámetro inferior a la longitud de interacción).

1. ¿Hay algún problema con la definición de la medida de Gibbs para volúmenes finitos $V \subset \mathbb Z^d$ sin condiciones de contorno, es decir $$ \mu_V(\sigma) = Z_V^{-1} \exp \left( \sum_{A \subset V} J_A(\sigma_A) \right) $$ donde por "problema" pienso en cosas como "no es una medida en el espacio correcto de configuraciones", o "no verifica alguna regla de compatibilidad importante" (¿DLR?), o "no es única", etc.
2. Se conocen las condiciones para las que la Dinámica de Glauber en esta región finita $V$ convergerá rápidamente a la distribución definida anteriormente ¿tendrá una separación uniforme?

Answer 1

No hay problemas--- no conozco una prueba de la convergencia de la dinámica de Glauber a la distribución de Boltzmann que no funciona independientemente de las condiciones de contorno. Sólo tienes que comprobar dos cosas:

1. La dinámica de Glauber preserva la distribución de Boltzmann (esto es fácil de comprobar partiendo de la distribución de Boltzmann, y demostrando que obedece al equilibrio detallado, es decir, que $\rho_i K_{i\rightarrow j} = \rho_j K_{j\rightarrow i}$ En otras palabras: la tasa de la transición i->j en equilibrio se equilibra con la tasa de la transición j->i. Esto demuestra que la dinámica de Glauber tiene una distribución estacionaria que es la distribución de Boltzmann.
2. Demostrar ergodicidad: esto dice que partiendo de dos configuraciones cualesquiera en el tiempo cero, existe un camino con probabilidad total de Glauber distinta de cero que termina en el mismo estado, es decir, los dos caminos colisionan con probabilidad distinta de cero después de un tiempo finito.

En estas condiciones, es fácil demostrar mediante un argumento de acoplamiento que la distribución estacionaria es única. La prueba es la siguiente: se considera el paseo acoplado, en el que los dos paseos son independientes hasta que coinciden, y luego siguen siendo iguales para siempre. Cuando hay una probabilidad finita para combinar, esto garantizará la convergencia eventual de los dos paseos, y por lo tanto la distribución final es independiente de la distribución de partida, y debe ser la distribución de Boltzmann (esto se trata en una de mis respuestas aquí con más detalle, pero no puedo recordar cuál).

Las estimaciones de este argumento no suelen ser óptimas. El tiempo de mezcla de la dinámica de Glauber suele ser razonablemente rápido lejos de un punto crítico, donde se produce una ralentización crítica en sistemas grandes. Para evitar esto, debe utilizar actualizaciones en bloque.