Un número tiene 101 factores compuestos.

Question

Un número tiene 101 factores compuestos. ¿Cuántos factores primos como máximo puede tener un número A?

Answer 1

Supongamos que $m = p_1^{a_1} ... p_n^{a_n}$ tiene exactamente $101$ factores compuestos.

Entonces $101 + (1+n) = (a_1 + 1)(a_2+1) ... (a_n+1)$ .

Pero el RHS es al menos $2^n$ y se comprueba fácilmente que la desigualdad

$102 + n \geq 2^n$

falla por $n \geq 7$ . Por lo tanto, puede haber como máximo $6$ primos en la factorización de $m$ .

Ahora tratamos de descomponer los números $101 + (1+n)$ en un producto de exactamente $n$ enteros para $n=1,2,3,4,5,6$ para ver si el $a_i$ puede existir realmente en cada caso.

Ya lo vemos:

$108 = 2^2 \times 3^3$

$107$ es primo

$106 = 2\times 53$

lo que significa que los casos de $n=4,5,6$ no puede funcionar.

Sin embargo, el número $105 = 3\times 5\times 7$ sí tiene esa representación como producto de tres números. Por lo tanto, el mayor número de primos que puede tener en $m$ es $3$ para tener exactamente 101 factores compuestos.

Dicho número viene dado por $m = p_1^2 p_2^4 p_3^6$ para los tres primos diferentes que desee.

Como nota, todos estos números $m$ debe ser de una de las siguientes formas:

$p_1^2 p_2^4 p_3^6$

$p_1^7 p_2^{12}$

$p_1^3 p_2^{25}$

$p_1 p_2^{51}$

$p_1^{102}$

Dónde $p_1,p_2,p_3$ son primos distintos.