Intento obtener la fórmula de la energía de las ondas EM:
$$W = \frac{E^2 + B^2}{2}$$ calcular el trabajo realizado sobre una carga de prueba por la fuerza: $$\mathbf F = q(\mathbf E + v \times \mathbf B)$$ $\mathbf E$ y $\mathbf B$ son vectores del tipo $\mathbf F(u)$ , $u = (\mathbf {k.x} - \omega t)$ y $\omega = \frac{c}{|k|}$ soluciones de la ecuación de ondas de Maxwell. Parece ir bien hasta que consigo $$\frac{\partial E_v}{\partial t} = \mathbf {j.E}$$ donde el lado izquierdo es la potencia por unidad de volumen y $\mathbf j$ es la densidad de corriente.
Pero si intento deshacerme de $\mathbf j$ utilizando la ecuación de Maxwell:
$$\mathbf j = \nabla \times \mathbf B - \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}$$ el lado derecho desaparece. Y no es una sorpresa, porque la ecuación de onda, a partir de la cual $\mathbf E$ y $\mathbf B$ son soluciones no requieren cargas ni corrientes.
Buscando en la red, la fórmula de la energía proviene de circuitos, inductores y condensadores que almacenan energía. Energía de las ondas EM simplemente utilizar que los resultados.
La otra aproximación es desde la Lagrangiana, pero en este caso, según tengo entendido, es al revés: se postula la expresión para la energía, y a partir de ella se derivan las ecuaciones de Maxwell.
¿Es posible deducir la expresión cuadrática de la energía a partir de la ecuación de onda y la fuerza de Lorentz?