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¿Cómo obtener la fórmula de la energía de las ondas EM?

Intento obtener la fórmula de la energía de las ondas EM:

$$W = \frac{E^2 + B^2}{2}$$ calcular el trabajo realizado sobre una carga de prueba por la fuerza: $$\mathbf F = q(\mathbf E + v \times \mathbf B)$$ $\mathbf E$ y $\mathbf B$ son vectores del tipo $\mathbf F(u)$ , $u = (\mathbf {k.x} - \omega t)$ y $\omega = \frac{c}{|k|}$ soluciones de la ecuación de ondas de Maxwell. Parece ir bien hasta que consigo $$\frac{\partial E_v}{\partial t} = \mathbf {j.E}$$ donde el lado izquierdo es la potencia por unidad de volumen y $\mathbf j$ es la densidad de corriente.

Pero si intento deshacerme de $\mathbf j$ utilizando la ecuación de Maxwell:

$$\mathbf j = \nabla \times \mathbf B - \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}$$ el lado derecho desaparece. Y no es una sorpresa, porque la ecuación de onda, a partir de la cual $\mathbf E$ y $\mathbf B$ son soluciones no requieren cargas ni corrientes.

Buscando en la red, la fórmula de la energía proviene de circuitos, inductores y condensadores que almacenan energía. Energía de las ondas EM simplemente utilizar que los resultados.

La otra aproximación es desde la Lagrangiana, pero en este caso, según tengo entendido, es al revés: se postula la expresión para la energía, y a partir de ella se derivan las ecuaciones de Maxwell.

¿Es posible deducir la expresión cuadrática de la energía a partir de la ecuación de onda y la fuerza de Lorentz?

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Vadim Puntos 377

Lo habitual es calcular la potencia debida al calor de Joule, dada por $\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}$ . A partir de las ecuaciones de Maxwell $$\nabla \times\mathbf{B}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j} + \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},\\ \nabla \times\mathbf{E}=- \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}. $$ Multiplicando la primera ecuación por $\mathbf{E}$ podemos expresar el calor de Joule como $$\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}\cdot\mathbf{E} = -\frac{1}{c}\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{E}\cdot(\nabla \times\mathbf{B}).$$ Más información en $$-\frac{1}{c}\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = -\frac{1}{2c}\frac{\partial\mathbf{E}^2}{\partial t},$$ mientras que $$\mathbf{E}\cdot\nabla \times\mathbf{B} = \nabla (\mathbf{B}\times\mathbf{E}) + \mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{E}).$$ Aquí el último término se transforma utilizando la otra ecuación de Maxwell, como se hizo anteriormente para $\mathbf{E}$ mientras que el primer término produce el vector de apuntamiento.

Supongo que se podría volver a deducir utilizando el trabajo realizado por el campo sobre una carga puntual, pero entonces no queda claro de dónde salen las corrientes de tu pregunta (sólo hay una carga).

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