Demostrar que una secuencia converge con dos propiedades dadas

Question

Encontré el siguiente ejercicio en mis apuntes de cálculo:

Sea $(x_n)$ sea una sucesión real tal que $|x_n|\leq 2$ para todos $n\geq 1$ y también satisface la desigualdad $|x_{n+2}-x_{n+1}|<\frac{1}{8}|x^2_{n+1}-x^2_n|$ para todos $n\geq 1$ . Demuestre que $(x_n)$ es convergente.

Llevo un tiempo atascado en este problema. He intentado demostrar que es una sucesión de Cauchy y por tanto convergente, pero no he podido llegar al resultado deseado. Cualquier ayuda es bienvenida

Answer 1

A partir de nuestros supuestos tenemos $$|x_{n+2}-x_{n+1}|<\dfrac{1}{8}|x_{n+1}^2-x_n^2|=\dfrac{1}{8}|x_{n+1}-x_{n}|\,|x_{n+1}+x_n|\leq\dfrac{1}{2}|x_{n+1}-x_n|$$ desde $|x_n|\leq 2$ y $|x_{n+1}|\leq 2$ . Esto debería ser útil para demostrar que $x_n$ es una sucesión de Cauchy. Te recordará a la demostración del teorema del punto fijo de Banach, si estás familiarizado con él.