¿Es cierto que $G$ ¿es abeliano?

Question

Supongamos que $H$ es un subgrupo normal de $G$ . Si $H$ y $G/H$ son abelianos, ¿es cierto que $G$ ¿es abeliano?

No creo que la respuesta sea SÍ . Esto se debe a que, $G/H$ es siempre abeliano como $H$ es normal, por lo que esta información no es nada nuevo. $H$ es abeliano implica que $H\subset Z(G)$ donde $Z(G)$ es el centro de $G$ .

Pero no se me ocurre ningún contraejemplo.

Answer 1

Sea $G=S_{3}$ y $H=A_{3}$ . Un contraejemplo!. Añadido como PS : Un grupo cociente no es necesariamente abeliano, toma $G=S_{3}$ y $H=\lbrace identity \rbrace$ , $H$ es normal, pero $G/H \cong S_{3}$ y no abeliano.

Answer 2

Un grupo con estas propiedades se denomina metabeliano .

Un ejemplo típico son los grupos diedros $D_n$ ; el conjunto de simetrías de un polígono regular de $n$ lados. Tiene un subgrupo abeliano normal $R$ de orden $n$ e índice $2$ las rotaciones de ángulo $\smash[b]{\dfrac{2\pi}n}$ . Además, existen $n$ reflexiones, que son todas conjugadas módulo $R$ .

Los grupos diedros son abelianos sólo para $n=1,2$ ya que están generados por dos elementos $r$ y $s$ con sujeción a las relaciones: $$r^n=e,\quad s^2=e,\quad sr=r^{-1}s.$$