Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua en casi todas partes y $X$ es una variable aleatoria, entonces es $f(X)$ ¿una variable aleatoria?

Question

Actualmente estoy trabajando en un problema de deberes y creo que necesito el resultado en el título. Si $f$ fueran continuas, entonces la preimagen de un conjunto abierto, $f^{-1}(U),$ estaría abierto y así, $X^{-1}\left(f^{-1}(U)\right)$ sería medible y, por lo tanto, podría concluir que $f(X)$ es una variable aleatoria. Sin embargo, no estoy seguro de si continua en casi todas partes cambia algo.

Answer 1

Un contraejemplo: Existe un subconjunto del conjunto de Cantor que no es un conjunto de Borel. En $\mathbb R$ con el Borel $\sigma-$ y, digamos, una medida de probabilidad gaussiana, consideremos $I_E$ . Sea $X$ sea el mapa de identidad en $\mathbb R$ . Entonces $X$ es una r.v. pero $I_E(X)$ no lo es, aunque $I_E$ es continua en $\mathbb R \setminus C$ por tanto continua a.e.