¿Cuántas relaciones hay en el plató? $\{a, b, c, d\}$ que contienen el par $(a, a)$ ?

Question

El número de relaciones entre conjuntos puede calcularse mediante $2^{mn}$ donde $m$ y $n$ representan el número de miembros de cada conjunto, por lo que el total es $2^{16}$ .

Ahora, ¿cómo puedo seguir adelante calcular sólo los que contiene $(a, a)$ Existen $4 \cdot 4=16$ pares de un elemento de $A$ y uno de otro $A$ .

Ahora bien, si siempre incluimos un $(a, a)$ por lo que habrá $2^{16-1}$ = $2^{15}$ relaciones.

Esto es lo que pienso pero estoy confundido. Por favor, ayúdame a resolver esta suma.

Answer 1

Dado que no existe ninguna condición que deba cumplir la relación, la presencia de cualquier par concreto $(x,y)$ en la relación puede variar independientemente de cualquier otro par de este tipo. En particular, una relación seleccionada (uniformemente) al azar entre todas las relaciones tiene una probabilidad $\frac12$ para contener el par $(a,a)$ . Es otra forma de decir que el subconjunto de relaciones con esa propiedad tiene la mitad de tamaño que el conjunto completo.

Answer 2

Tienes razón. El punto de $2^{mn}$ fórmula es que hay $mn$ pares ordenados que pueden o no formar parte de la relación. Como tiene dos opciones repetidas $mn$ veces hay $2^{mn}$ opciones. Cuando decimos $(a,a)$ se requiere que esté en la relación, una de esas opciones ya está hecha, por lo que hay $mn-1$ más que hacer. Así, hay $2^{mn-1}=2^{15}$ relaciones que incluyen $(a,a)$