¿Por qué es la función de partición canónica de la transformada de Laplace de la microcanonical función de partición?

Question

Esta página web dice que la microcanonical función de partición $$ \Omega(E) = \int \delta(H(x)-E) \,\mathrm{d}x $$ y la función de partición canónica $$ Z(\beta) = \int e^{-\beta H(x)}\,\mathrm{d}x $$ están relacionados por el hecho de que $Z$ es la transformada de Laplace de $\Omega$. Puedo ver matemáticamente que esto es cierto, pero ¿por qué están relacionados de esta manera? ¿Por qué podemos intrepret el integrando en $Z$ como una probabilidad, y lo que nos permite identificar a $\beta = \frac{1}{kT}$?

Answer 1

Supongo que se podría empezar por considerar el microcanonical y canónicas de los conjuntos completamente diferentes conceptos. Para ellos representan las diferentes estadísticos conjuntos: en el primero, el de la energía del sistema es fijo, mientras que en el segundo la energía puede abarcar todos los posibles valores permitidos por el espectro de energía del sistema con una pena atribuida a altas energías.

En este caso es importante notar que el significado de la microcanonical medida y, por tanto, de la canónico es el de medidas de probabilidad en el espacio de estado (quantum o clásica). Por lo tanto, tienen que tomar los valores reales y ser integrable/normalizable.

Como te has dado cuenta, por supuesto, la función de partición canónica puede ser entendido como la transformada de Laplace de la (microcanonical) la densidad de estados. En algún sentido, a continuación, nos dice algo acerca de "cómo muchos termostatos qué necesitamos para capturar la física de la densidad del estado?". Este es, por supuesto, vaga-ish debido a que el conjunto de la Boltzmann pesos (entendida como probabilísticas pesos) no constituyen una base ortonormales en el espacio de la función.

Así que creo que para esta transformada de Laplace idea significa nada, tenemos que imaginar que es posible, a través de la analítica continuación, extender $\beta$-valores en el plano complejo. En tal caso, entonces, la transformada inversa de Laplace puede existir y puede ser capaz de entender algo.

En particular, podemos, de hecho, a la refundición de la densidad de estado $\Omega(E) \equiv \sum_i \delta(E-E_i)$ donde $i$ etiquetas el microstates de la siguiente manera:

$\Omega(E) = \mathcal{L}^{-1}\left[ Z(\beta) \right] = \int \: d \beta \:e^{\beta E} Z(\beta)$

donde $\mathcal{L}^{-1}$ denota la transformada inversa de Laplace.

El punto interesante desde el punto de vista de la mecánica estadística es que, para el gran sistema de los tamaños es decir, en el límite termodinámico, podemos escribir que $Z(\beta) \equiv e^{-\beta A(\beta)} \sim e^{-\beta N a(\beta)}$ donde $A$ es el Helmoltz la energía libre y $N$ el número de partículas en el sistema. La última igualdad se deriva de la extensividad de la libre energías. Tenga en cuenta que $E$ también es extensa en el límite termodinámico, de modo que $E \sim N e$, a continuación, obtener:

$\Omega(E) = \int \: d \beta \:e^{\beta N(e-a(\beta))}$

Si $N$ es muy grande, entonces se puede realizar un punto de silla de aproximación, por ejemplo, $\beta = \beta^*$ (que será lo más probable es que se toma un camino en el plano complejo) y encontrar que:

$\Omega(E) \sim e^{\beta^* N(e-a(\beta^*))}$

Suponiendo que la ruta se encuentra en el plano complejo, pero la silla es en sí mismo en la línea real, conseguimos que cada valor de $E$, no existe un único termostato con $\beta$valor $\beta^*$ que es susceptible de modelar con precisión la densidad de estado, y por lo tanto, todas las propiedades estadísticas fijo de la energía $E$; en el límite termodinámico que es.

Esto es lo que se llama el conjunto de equivalencia entre el canónico y el microcanonical conjunto (por supuesto se puede hacer lo mismo cuando le preguntan "¿cuántos fija de sistemas de energía necesito modelo de mi termostato en la temperatura de inverso $\beta$").

Este fue el gran límite del sistema. Ahora, resulta que suponiendo que microcanonical canónico y funciones de partición, si me atrevo a decir que, transformadas de Laplace de la una de la otra, entonces, que uno puede hacer cosas para los pequeños sistemas y a cualquier temperatura (es decir, incluso en el régimen cuántico).

En particular, la densidad de estados es siempre muy difícil de calcular, mientras que la función de partición es más manejable (y, sin embargo, no es fácil de domar a la bestia!).

Sólo para dar la idea de lo que sucede, vamos a considerar el caso de 1D oscilador armónico. En este caso tenemos que el 1 de partículas función de partición se lee:

$z(\beta) = \frac{1}{\sinh(\frac{\beta \hbar \omega}{2})}$

Ahora, tratando de descifrar lo que sería la correspondiente densidad de estado podemos utilizar exactamente la misma relación:

$\omega(E) = \int d\beta \: \frac{e^{\beta E}}{\sinh(\frac{\beta \hbar \omega}{2})}$

Como he dicho antes, para esta integral converge, es muy probable que la inversión que se ha realizado dentro de un integrable losa del plano complejo. Por otra parte, aunque hemos tratado de integrar ingenuamente, le encuentro un poste en $\beta = 0$. Si ahora tratamos de evitar el cero polo a través de una excursión en el plano complejo, se tendría que integrar sobre un contorno cerrado, un semi-círculo que abarca la mitad superior del plano complejo decir. Si hacemos eso, necesitamos tener en cuenta para todos los polos que se encuentran en la mitad superior de la línea imaginaria y cancelar el denominador del integrando.

Los residuos correspondientes dará lugar a una oscilación de la parte que se complementa la parte media que es la que tenemos en el sistema de grandes límite de tamaño que se discutieron anteriormente. El origen de este comportamiento oscilatorio se deriva del hecho de que si dibujamos el número total de estados que han de energía por debajo de $E$, luego, en el quantum caso, se requiere una "escalera de la forma", que oscila alrededor de un medio que utilizamos habitualmente en nuestro tratamiento habitual de la termodinámica estadística.

Se vuelve más interesante, más allá de 1D y para aquellos que están interesados sobre el 2D oscilador armónico, usted puede encontrar un estudio detallado de la segunda aquí.

Al final del día, yo diría que a pesar de la microcanonical y canónicas de los conjuntos no están definidos como de la transformada de Laplace, si nos permiten ampliar su definición en el plano complejo, entonces pueden estar relacionadas por una Laplce transformar y nos permite obtener muy importante y los resultados generales (conjunto de equivalencia de los sistemas grandes y oscilatorio comportamiento de la densidad de estados para los más pequeños), que son por cierto bien verificada de forma numérica y experimentalmente.

Answer 2

Considere dos sistemas conectados a $A$ $B$ en el microcanonical conjunto. Llamar a $E$ total (fija) de la energía que hemos $$\Omega(E)=\Omega_A(E_A)\Omega_B(E_B)=\Omega(E_A)\Omega_B(E-E_A).\tag{1}$$ Esto sólo indica que el número de estados de todo el sistema es el producto del número de miembros de los subsistemas, pero aquí es realmente la clave, ya que todo lo que sigue es una consecuencia directa de $(1)$ y del principio de máxima entropía.

Utilizando el principio de máxima entropía con $(1)$, se obtiene que en el equilibrio entre el $A$ $B$ hemos $$\frac{1}{\Omega_A(E_A)}\frac{\partial\Omega_A}{\partial E_A}(E_A) =\frac{1}{\Omega_B(E_B)}\frac{\partial\Omega_B}{\partial E_B}(E_B).$$ Este número (la variación relativa de $\Omega_i$ con respecto a la energía $E_i$) se llama $\beta$, (hasta el constante $k_{\mathrm B}$ que se convierte en nuestro particular sistema de unidades). En consecuencia, tenemos en equilibrio $$\frac{\partial}{\partial E}\left(\ln\Omega-\beta E\right)=0,$$ Por lo tanto, podemos definir la transformación de Legendre de $\ln\Omega(E)$ a que llamamos $\ln\mathcal Z(\beta)$. Tenemos $$-\frac{\partial\ln\mathcal Z}{\partial \beta}=E$$ como consecuencia de la inversa de la transformación de Legendre. Esto demuestra que $\mathcal Z(\beta)$ es de hecho la partición canónica de la función.

La transformación de Legendre en realidad da la relación $$ \ln\mathcal Z(\beta)=\ln\Omega(E)-\beta E.$$ Tomando la exponencial y la integración de más de $E$ obtenemos la relación $$ \mathcal Z(\beta)=\int \Omega(E)\mathrm e^{-\beta E}\,\mathrm dE.$$ También conseguimos mediante la integración de más de $\beta$ la expresión de la inversa de la $\Omega(E)=\int Z(\beta)\mathrm e^{\beta E}\mathrm d\beta$.

Ten en cuenta que esto no da ninguna información sobre la forma de cómo realizar la integral. El cálculo de $\Omega$ $\mathcal Z$ requiere en realidad un complejo de integración, como la de Laplace inversa de la transformación se realiza a lo largo de un contorno en el plano complejo de tal manera que todos los polos están en el lado izquierdo.

Así que la respuesta a su pregunta podría ser que esta relación es una consecuencia de las propiedades de la transformación de Legendre, combinado con el hecho de que $(1)$ implica que la suma de $\ln\Omega$.

Answer 3

No estoy seguro de que es cierto en general.

En su ecuación, $x$ podría no ser una sola variable continua en la recta numérica real. Puede consistir en un conjunto de variables tales como la interacción del sistema de espín. También puede ser variable discreta, y en el caso más general, es sólo un conjunto de estados en algunos modelos de sistema. La transformada de Laplace no está bien definida, en el caso posterior. También, si el Hamiltoniano no es lineal ni cuadrática (con canónica de la transformación), es cuestionable si todavía es la transformada de Laplace.