Recientemente he leído sobre la cuantización de los niveles de energía en los que puede estar el electrón de un átomo de hidrógeno neutro, y me he dado cuenta de que todos los tratamientos disponibles parecen tratar el núcleo como una carga puntual $+e$ que determina la forma de la función de onda electrónica. Sin embargo, ¿existe algún tratamiento que considere el núcleo también como una partícula mecánico-cuántica y determine la función de onda de dos partículas, tanto del protón como del electrón? Sé que una distribución de carga esféricamente simétrica se comporta como si toda su carga estuviera concentrada en el centro por la Ley de Gauss, pero ¿qué ocurre con la parte de la ( $1s$ por ejemplo) que se encuentra en ¿el radio del protón aproximado clásicamente?
Respuestas
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Resumen: en cuanto a tu primera pregunta -qué pasa con el movimiento del protón-, la respuesta es: tras una rápida transformación se obtiene el mismo potencial, y la masa se sustituye por la "masa reducida" (el mismo truco que funciona para dos cuerpos en órbita en la mecánica newtoniana). En cuanto a la segunda pregunta, el radio del protón (exactamente como sugieres) da un pequeño desplazamiento a las funciones de onda S que se puede encontrar utilizando la teoría de perturbaciones.
Hasta cierto punto, has planteado dos cuestiones muy diferentes -qué pasa con el movimiento del protón y qué pasa con el radio del protón- y deberían tratarse por separado. Para la primera pregunta, tenemos una función de onda de dos cuerpos en un Hamiltoniano:
$$ H=\frac{p_e^2}{2m_e}+\frac{p_p^2}{2m_p}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{|\mathbf{x}_e-\mathbf{x}_p|} $$ Para que nos entendamos, se trata de una función de onda de seis variables (las tres componentes de la posición de cada partícula), y tiene un potencial que depende de la diferencia entre las posiciones de las dos partículas. Así que ahora usamos el mismo truco utilizado en la mecánica orbital entre dos cuerpos. Definimos la diferencia de posición y la posición del centro de masa: $$ \mathbf{x}_d=\mathbf{x}_e-\mathbf{x}_p $$ $$ \mathbf{x}_c=\frac{m_e\mathbf{x}_e+m_p\mathbf{x}_p}{m_e+m_p} $$ Lo único molesto es convertir los operadores de impulso. Para mostrar cómo va, voy a convertir esto en las nuevas coordenadas $(1/m_e)d^2/d\mathbf{x}_{e,1}^2+(1/m_p)d^2/d\mathbf{x}_{p,1}^2$ (la parte de la energía de momento total en la primera dirección): $$ \frac{1}{m_e}\left(\frac{d}{d\mathbf{x}_{e,1}}\right)^2+ \frac{1}{m_p}\left(\frac{d}{d\mathbf{x}_{p,1}}\right)^2= \frac{1}{m_e}\left(\frac{d}{d\mathbf{x}_{d,1}}+\frac{m_e}{m_p+m_e}\frac{d}{d\mathbf{x}_{c,1}}\right)^2 + \frac{1}{m_p}\left(-\frac{d}{d\mathbf{x}_{d,1}}+\frac{m_p}{m_p+m_e}\frac{d}{d\mathbf{x}_{c,1}}\right)^2 $$ Lo bueno de estas coordenadas es que los términos cruzados se cancelan (de eso se trataba). El Hamiltoniano se convierte en: $$ \frac{p_c^2}{2(m_e+m_p)}+\frac{p_d^2}{2\mu}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{|x_d|} $$ Dónde $\mu$ se denomina "masa reducida" $m_em_p/[m_p+m_e]$ . Así que básicamente, tienes las soluciones normales de la función de onda del hidrógeno, pero en lugar de $x$ siendo la posición del electrón, es la diferencia entre las dos posiciones, y en lugar de $m_e$ , tienes $\mu$ (que está muy cerca de la masa del electrón). En cuanto a la posición del centro de masa, ¡no hay potencial! Así llegamos al hecho obvio de que el átomo de hidrógeno en su conjunto se comporta como una partícula libre de mecánica cuántica con masa $m_e+m_p$ .
Así que ahora el radio del protón. Habrás oído que el protón tiene un "radio de carga". Vale la pena enfatizar que esto es no el tamaño de la función de onda del protón. Normalmente, el tamaño de la función de onda de un protón, o su $\Delta_x$ en la fórmula $\Delta_x\Delta_p\geq \hbar/2$ es mucho mayor que "el radio del protón". En cambio, el radio del protón es, en el sentido de la derivación anterior, el tamaño de la "parte relativa" de la función de onda de los quarks. Esto es todo muy ondulante, pero en cierto sentido, pensemos en una función de onda que inicialmente tiene cuatro partículas: dos quarks up, un quark down y el electrón, y para los quarks, añadimos esto al hamiltoniano: $$ H=\frac{p_{u1}^2}{2m_u}+\frac{p_{u2}^2}{2m_u}+\frac{p_{d}^2}{2m_d}+V_{QCD}(u1,u2,d) $$ Recuerda cómo la interacción electromagnética asegura que tengamos una función de onda en términos de las posiciones relativas del protón y el electrón, que los localiza para que estén dentro de un radio de Bohr aproximadamente el uno del otro. De la misma manera, el potencial QCD garantiza que los quarks se encuentren dentro de un radio de protón (mucho más pequeño que un radio de Bohr). Entonces, ¿cómo tratamos el efecto que esto tiene en la función de onda del hidrógeno? Una aproximación que hacemos es decir que en lugar de un potencial de "carga puntual": $$ V_0=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{|x_d|} $$ Usamos un potencial que surgiría de que el protón fuera una esfera uniformemente cargada, que se parece a esto (pero escalado al radio correcto del protón y a la carga total): 
La diferencia entre los dos potenciales la tratamos utilizando la teoría de perturbaciones. Ya que estás en un curso de mecánica cuántica, pronto aprenderás cómo funciona la teoría de perturbaciones, e incluso puede que tengas esto como pregunta de deberes.
Véase Efectos de volumen en el desplazamiento isotópico para espectros atómicos. Dos isótopos del mismo elemento tendrán frecuencias de transición ligeramente diferentes. La diferencia de frecuencia se denomina desplazamiento isotópico y se debe a dos efectos. El primero es la diferente masa efectiva debida al cambio en la masa nuclear y el segundo efecto es el desplazamiento de volumen. El segundo efecto es el efecto de volumen, que es esencialmente sobre lo que estás preguntando. Básicamente, el núcleo no es exactamente una masa puntual. En primer orden se puede modelar como una distribución de carga arbitraria con algún radio $R = \sqrt{\langle r^2\rangle}$ . Esta distribución de la carga da lugar a un potencial eléctrico ligeramente diferente para el electrón, lo que se traduce en niveles de energía ligeramente diferentes. Este último efecto es pequeño pero detectable [cita requerida].
No soy un experto en este campo, pero puedo copiar la fórmula de Wikipedia para el desplazamiento de volumen: $$ \delta E \approx \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{4}{5} R^2 \frac{Z^4}{a_{\mu}^3 n^3} \frac{\delta R}{R} $$ Aquí $e$ es la carga del electrón, $\epsilon_0$ es la permitividad del espacio libre, $R$ es el radio efectivo del núcleo, $Z$ es el número de portons, $n$ es el número cuántico de principio para el estado electrónico, Creo que $a_\mu = (m_e/\mu) a_0$ es el radio de Bohr corregido por la masa efectiva, an $\delta R$ es, por supuesto, la diferencia en el radio nuclear efectivo debido al diferente número de nuetrones.
De hecho, dado que la estructura nuclear modifica los espectros atómicos (que podemos medir con extrema precisión), esto significa que podemos utilizar la espectroscopia atómica para sondear la estructura nuclear. Véanse, por ejemplo, las propuestas (y los esfuerzos experimentales) de un reloj nuclear que utiliza dos estados nucleares para medir el tiempo, del mismo modo que un reloj atómico utiliza dos estados electrónicos (de espín u orbitales) para medir el tiempo.
Esto es pura especulación: Todos los tratamientos anteriores tratan el núcleo como esféricamente simétrico y descrito por un simple radio efectivo. Sin embargo, podríamos modelar el núcleo como si tuviera alguna distribución de carga descrita por una serie de armónicos esféricos. Es posible que los desplazamientos espectroscópicos dependan de las diferencias de momento angular orbital entre los estados atómicos. Tales efectos nos permitirían sondear no sólo la parte esféricamente simétrica de la estructura nuclear, ¡sino también las partes angulares! Un problema que veo con esto, sin embargo, es que es probable que en el "marco del laboratorio" podamos controlar la orientación de los estados electrónicos utilizando láseres con polarizaciones bien controladas. No sé si es igualmente posible controlar la orientación espacial del núcleo. Es decir, tal vez el núcleo esté rodando y dando tumbos con respecto a la orientación del estado electrónico. Si este fuera el caso, los desplazamientos espectroscópicos de cualquier estructura de momento angular del núcleo se promediarían en el tiempo hasta cero.
Otro efecto relacionado es el Término Darwin lo que provoca un desplazamiento de la estructura fina hacia los orbitales s debido al solapamiento del orbital s con el núcleo. Pero este desplazamiento no se debe a la extensión finita del núcleo. Más bien, creo que se debe a alguna dinámica de QFT de orden superior del electrón que francamente no entiendo. En palabras de Wikipedia:
El término Darwin cambia la energía potencial del electrón. Puede interpretarse como un desvanecimiento de la interacción electrostática entre el electrón y el núcleo debido al zitterbewegung, u oscilaciones cuánticas rápidas, del electrón. Esto puede demostrarse mediante un breve cálculo".
En Turno de Cordero parece estar también relacionado con el tamaño finito (¿o al menos con las fluctuaciones de posición?) del núcleo, pero es, al igual que el desplazamiento de Darwin, un desplazamiento QFT/QED que personalmente no entiendo muy bien.
Añadiendo a la respuesta de Jagerber48, añadiré que lo inverso también es cierto: debido a este solapamiento en las funciones de onda, los niveles de energía nuclear se desplazan por lo que hacen los electrones de la capa interna. Esto se mide comúnmente en Mössbauer que mide los niveles de energía nuclear mediante la dispersión de rayos X, y los espectros pueden compararse con predicciones teóricas, como los cálculos de la teoría del funcional de la densidad, para intentar determinar cómo es la estructura electrónica de la capa interna de un material.
