Derivar la cota superior de la desigualdad

Question

Consideremos una función $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb R$ y una variable aleatoria $Z$ también tomando valores en $\mathbb{R}^n$ . Supongamos que $\sup_z \lvert f(z)\rvert = B <\infty$ Consideremos los siguientes vectores $S = (Z_1,..,Z_n)$ y $S'= (Z_1,...,Z_i',..,Z_n)$ para que sólo cambie el componente i-ésimo de una muestra determinada. Cada $Z_i$ es una variable aleatoria en $\mathbb{R}^n$ . Entonces quiero demostrarlo:

$$|g(S)-g(S')| \leq \frac{2B}{n}$$

para $$g(S):= \left\lvert \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(Z_i)- E[f(Z)]\right\rvert $$

Si no tuviera $E[f(Z)]$ Lo conseguiría: $|g(S)-g(S')| = |\frac{1}{n} \left( f(Z_i) - f(Z_i')\right) | \leq \frac{1}{n} 2B $ .

¿Qué puedo hacer con $E[f(Z)]$ ¿Son iguales si sólo cambio el $i$ -¿Enésimo componente?

Answer 1

Obsérvese que por la desigualdad triangular invertida, $$ \left\lvert g(S)-g(S')\right\rvert= \left\lvert \left\lvert \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n f(Z_j)- E[f(Z)]\right\rvert -\left\lvert \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n f(Z^*_j)- E[f(Z)]\right\rvert \right\rvert\leqslant \left\lvert \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n f(Z_j)- E[f(Z)] - \left(\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n f(Z^*_j)- E[f(Z)] \right) \right\rvert, $$ donde $Z_j^*=Z_j$ si $j\neq i$ y $Z_i^*=Z'_i$ . Así pues, el término $E[f(Z)]$ se anulará.